Dvije različite crte koje se nalaze u istoj ravnini istovremene su kada imaju jednu zajedničku točku.
Istodobne crte međusobno tvore 4 kuta i, prema mjerenjima tih kutova, mogu biti okomite ili kose.
Kad su 4 kutova koja su stvorili jednaki 90 °, nazivaju se okomitim.
Na slici ispod crta r i s su okomite.
Ako se oblikovani kutovi razlikuju od 90 °, nazivaju se kosim natjecateljima. Na donjoj slici predstavljamo linije u i v kosi.
Konkurentske, slučajne i paralelne linije
Dvije linije koje pripadaju istoj ravnini mogu biti istodobne, slučajne ili paralelne.
Dok istodobne crte imaju jednu točku presjeka, podudarne crte imaju najmanje dvije zajedničke točke i paralelne linije nemaju zajedničkih točaka.
Relativni položaj dviju ravni
Poznavajući jednadžbe dviju linija možemo provjeriti njihov relativni položaj. Za to moramo riješiti sustav koji čine jednadžbe dviju linija. Tako imamo:
- Istodobne crte: sustav je moguć i određen (jedna zajednička točka).
- Linije slučajnosti: sustav je moguć i određen (beskonačna zajednička točka).
- Paralelne crte: sustav je nemoguć (nema zajedničkih točaka).
Primjer:
Odredite relativni položaj između prave r: x - 2y - 5 = 0 i linije s: 2x - 4y - 2 = 0.
Riješenje:
Da bismo pronašli relativni položaj između danih linija, moramo izračunati sustav jednadžbi formiranih njihovim linijama, tako da imamo:
Pri rješavanju sustava zbrajanjem nalazimo sljedeću jednadžbu 0y = - 8, jer za ovu jednadžbu nema rješenja, to je i nemoguće. Na taj su način dvije crte paralelne.
Suprotni kutovi prema Vertexu
Dvije natjecateljske linije čine dva para uglovi. Ovi kutovi imaju zajedničku točku koja se naziva vrh.
Parovi kutova koji su nasuprot temenu su podudarni, odnosno imaju isto mjerenje.
Na donjoj slici prikazujemo kutove AÔB i CÔD koji su nasuprot temenu, kao i kutove AÔC i BÔD.
Točka presjeka između dvije istodobne ravne crte
Točka presjeka između dvije istodobne crte pripada jednadžbama dviju crta. Na taj način možemo pronaći zajedničke koordinate ove točke rješavajući sustav formiran jednadžbama ovih linija.
Primjer:
Odredite koordinate točke P zajedničke pravcima r i s, čije su jednadžbe x + 3y + 4 = 0, odnosno 2x - 5y - 2 = 0.
Riješenje:
Da bismo pronašli koordinate točke, moramo riješiti sustav zadanim jednadžbama. Tako imamo:
Rješavajući sustav, imamo:
Zamjenom ove vrijednosti u prvoj jednadžbi nalazimo:
Stoga su koordinate točke presjeka , tj
.
Saznajte više čitajući i:
- Okomite crte
- ravno
- stožast
Riješene vježbe
1) U sustavu pravokutne osi, - 2x + y + 5 = 0 i 2x + 5y - 11 = 0, jednadžbe su pravaca r i s. Pronađite koordinate točke presijecanja r i s.
P (3, 1)
2) Koje su koordinate vrhova trokuta, znajući da su jednadžbe potpornih linija njegovih stranica - x + 4y - 3 = 0, - 2x + y + 8 = 0 i 3x + 2y - 5 = 0 ?
A (3, - 2)
B (1, 1)
C (5, 2)
3) Odrediti relativni položaj pravih r: 3x - y -10 = 0 i 2x + 5y - 1 = 0.
Ravne crte su istodobne, što je točka presjeka (3, - 1).
