Udaljenost između dviju točaka mjera je odsječka crte koji ih spaja.
Ovu mjeru možemo izračunati pomoću analitičke geometrije.
Udaljenost između dvije točke na ravnini
U ravnini je točka potpuno određena poznavajući poredani par (x, y) koji je s njom povezan.
Da bismo znali udaljenost između dviju točaka, u početku ćemo ih predstaviti u kartezijanskoj ravnini, a zatim izračunati tu udaljenost.
Primjeri:
1) Kolika je udaljenost između točke A (1.1) i točke B (3.1)?
d (A, B) = 3 - 1 = 2
2) Kolika je udaljenost između točke A (4.1) i točke B (1,3)?
Imajte na umu da je udaljenost između točke A i točke B jednaka hipotenuzi pravokutnog trokuta s krakovima 2 i 3.
Dakle, koristit ćemo Pitagorin poučak za izračun udaljenosti između zadanih točaka.
[mrlja)]2 = 32 + 22 = √13
Formula udaljenosti između dvije točke na ravnini
Da bismo pronašli formulu udaljenosti, možemo generalizirati izračun izveden u primjeru 2.
Za bilo koje dvije točke, kao što je A (x1yy1) i B (x2g2), imamo:
Da biste saznali više, također pročitajte:
- geometrija ravnine
- Kartezijanski plan
- ravno
Udaljenost između dviju točaka u prostoru
Za predstavljanje točaka u prostoru koristimo trodimenzionalni koordinatni sustav.
Točka je u potpunosti određena u prostoru kada je s njom povezana uređena trojka (x, y, z).
Da bismo pronašli udaljenost između dviju točaka u prostoru, u početku ih možemo predstaviti u koordinatnom sustavu, a odatle izvršiti proračune.
Primjer:
Kolika je udaljenost između točke A (3,1,0) i točke B (1,2,0)?
U ovom primjeru vidimo da točke A i B pripadaju xy ravnini.
Udaljenost će biti dana:
[mrlja)]2 = 12 + 22 = √5
Formula udaljenosti između dviju točaka u prostoru
Da biste saznali više, također pročitajte:
- Prostorna geometrija
- Linijska jednadžba
- Matematičke formule
Riješene vježbe
1) Točka A pripada osi apscise (os x) i jednako je udaljena od točaka B (3.2) i C (-3.4). Koje su koordinate točke A?
Kako točka A pripada osi apscise, tada je njezina koordinata (a, 0). Dakle, moramo pronaći vrijednost a.
(0 - 3)2 + (do - 2)2 = (0 + 3)2 + (do -4)2
9 + do2 - 4a +4 = 9 + a2 - 8. + 16
4. = 12
a = 3
(3.0) su koordinate točke A.
2) Udaljenost od točke A (3, a) do točke B (0,2) jednaka je 3. Izračunaj vrijednost ordinate a.
32 = (0 - 3)2 + (2 - a)2
9 = 9 + 4 - 4a + a2
The2 - 4. +4 = 0
a = 2
3) ENEM - 2013
Posljednjih godina televizija je doživjela pravu revoluciju u pogledu kvalitete slike, zvuka i interaktivnosti s gledateljem. Ova je transformacija posljedica pretvorbe analognog signala u digitalni signal. Međutim, mnogi gradovi još uvijek nemaju ovu novu tehnologiju. Nastojeći donijeti ove prednosti u tri grada, televizijska postaja namjerava izgraditi novi prijenosni toranj koji šalje signal antenama A, B i C, koje već postoje u tim gradovima. Smještaji antena predstavljeni su u kartezijanskoj ravnini:
Toranj mora biti smješten na jednako udaljenom mjestu od tri antene. Odgovarajuće mjesto za izgradnju ovog tornja odgovara koordinatnoj točki
a) (65; 35)
b) (53; 30)
c) (45; 35)
d) (50; 20)
e) (50; 30)
Ispravna alternativa e: (50; 30)
Pogledajte i: udaljenost između dvije točke vježbe
4) ENEM - 2011
Četvrt grada bila je planirana u ravnoj regiji, s paralelnim i okomitim ulicama, ograničavajući blokove iste veličine. U sljedećoj kartezijanskoj koordinatnoj ravnini ovo se susjedstvo nalazi u drugom kvadrantu, a udaljenosti u
osi su date u kilometrima.
Ravna crta jednadžbe y = x + 4 predstavlja planiranje trase podzemne linije podzemne željeznice koja će prelaziti kvart i druge regije grada.
U točki P = (-5,5) smještena je javna bolnica. Zajednica je zatražila od odbora za planiranje da planira postaju podzemne željeznice tako da udaljenost od bolnice, mjerena u pravoj liniji, ne bude veća od 5 km.
Kao odgovor na zahtjev zajednice, odbor je točno ustvrdio da će to biti automatski zadovoljeno jer je gradnja stanice na tom mjestu već bila predviđena.
a) (-5,0)
b) (-3,1)
c) (-2,1)
d) (0,4)
e) (2.6)
Ispravna alternativa b: (-3,1).
Pogledajte i: vježbe iz analitičke geometrije
