Izračun inverzne matrice: svojstva i primjeri

Inverzna matrica ili invertibilna matrica je vrsta kvadratna matrica, odnosno ima jednak broj redaka (m) i stupaca (n).

To se događa kada umnožak dviju matrica rezultira a matrica identiteta istog reda (isti broj redaka i stupaca).

Dakle, za pronalaženje inverzne matrice koristi se množenje.

THE. B = B. A = I_Ne (kada je matrica B inverzna matrici A)

Ali što je to Matrica identiteta?

THE Matrica identiteta definira se kada su svi elementi glavne dijagonale jednaki 1, a ostali elementi jednaki 0 ​​(nula). Označeno je s I_Ne:

Inverzna svojstva matrice

• Za svaku matricu postoji samo jedan inverzni.
• Nemaju sve matrice inverznu matricu. Invertibilan je samo kad proizvodi kvadratnih matrica rezultiraju identitetskom matricom (I_Ne)
• Inverzna matrica inverzne odgovara samoj matrici: A = (A^-1)^-1
• Matrica transponirana inverznom matricom je također inverzna: (A^t) ^-1 = (A^-1)^t
• Inverzna matrica transponirane matrice odgovara transponiranju inverzne: (A^-1 THE^{t) -1}
• Inverzna matrica identitetske matrice jednaka je matrici identiteta: I^-1 = Ja

Vidi i ti: Matrice

Primjeri inverzne matrice

2x2 inverzna matrica

3x3 inverzna matrica

Korak po korak: Kako izračunati inverznu matricu?

Znamo da je ako je umnožak dviju matrica jednak identitetskoj matrici, ta matrica ima obrnutu vrijednost.

Imajte na umu da ako je matrica A inverzna matrici B, koristi se oznaka: A^-1.

Primjer: Pronađite inverzu matrice ispod reda 3x3.

Prije svega, moramo se sjetiti da je A. THE^-1 = I (Matrica pomnožena s njezinom inverznom rezultirat će matricom identiteta I_Ne).

Svaki element prvog retka prve matrice množi se sa svakim stupcem druge matrice.

Stoga se elementi drugog reda prve matrice množe stupcima druge.

I na kraju, treći red prvog sa stupcima drugog:

Uspoređivanjem elemenata s matricom identiteta možemo otkriti vrijednosti:

a = 1
b = 0
c = 0

Poznavajući ove vrijednosti, možemo izračunati ostale nepoznanice u matrici. U trećem redu i prvom stupcu prve matrice imamo + 2d = 0. Pa krenimo s pronalaženjem vrijednosti d, zamjenom pronađenih vrijednosti:

1 + 2d = 0
2d = -1
d = -1/2

Isto tako, u trećem redu i drugom stupcu možemo pronaći vrijednost i:

b + 2e = 0
0 + 2e = 0
2e = 0
e = 0/2
e = 0

U nastavku imamo u trećem retku trećeg stupca: c + 2f. Imajte na umu da druga matrica identiteta ove jednadžbe nije jednaka nuli, već jednaka 1.

c + 2f = 1
0 + 2f = 1
2f = 1
f = ½

Pomicanjem u drugi redak i prvi stupac pronaći ćemo vrijednost g:

a + 3d + g = 0
1 + 3. (-1/2) + g = 0
1 - 3/2 + g = 0
g = -1 + 3/2
g = ½

U drugom retku i drugom stupcu možemo pronaći vrijednost H:

b + 3e + h = 1
0 + 3. 0 + h = 1
h = 1

Napokon, pronađimo vrijednost i jednadžbom drugog reda i trećeg stupca:

c + 3f + i = 0
0 + 3 (1/2) + i = 0
3/2 + i = 0
i = 3/2

Nakon otkrivanja svih nepoznatih vrijednosti možemo pronaći sve elemente koji čine inverznu matricu A:

Vježbe prijamnog ispita s povratnim informacijama

1. (Cefet-MG) Matrica je obrnuto od
Točno se može reći da je razlika (x-y) jednaka:

a) -8
b) -2
c) 2
d) 6
e) 8

Pogledajte Odgovor

Alternativa e: 8

2. (UF Viçosa-MG) Neka matrice budu:

Gdje su x i y stvarni brojevi, a M inverzna matrica od A. Dakle, xy proizvod je:

a) 3/2
b) 2/3
c) 1/2
d) 3/4
e) 1/4

Pogledajte Odgovor

Alternativa: 3/2

3. (PUC-MG) Inverzna matrica matrice to je isto kao:

The)
B)
ç)
d)
i)

Pogledajte Odgovor

Alternativa b:

Pročitajte i vi:

• Matrice - vježbe
• Matrice i odrednice
• Vrste matrica
• Prenesena matrica
• Množenje matrica