Permutacija je tehnika brojanja koja se koristi za određivanje koliko načina postoji za poredak elemenata konačnog skupa. Izmjena je razmjena, a u kombinatoričkim problemima to znači razmjenu elemenata mjesta s obzirom na njihov poredak.
Te su tehnike dio područja matematike koje se naziva Kombinatorna analiza, a čiji je cilj poznavanje i brojanje različitih načina organiziranja skupova i njihovih elemenata. Jednostavna permutacija i a s ponovljenim elementima rješavaju ovu kategoriju problema.
jednostavna permutacija
Jednostavna permutacija je poredak elemenata konačnog skupa kada su elementi se ne ponavljaju, su različiti. Koristi se za određivanje količine ovih vrsta.
Količina permutacija skupa od n elemenata jednako je n! (čita n faktorijel).
Formula za određivanje broja jednostavnih permutacija je
Razmotrimo skup s n elemenata. Da bismo ih organizirali u red čekanja, moramo odabrati prvog, a za to imamo n mogućnosti. Za odabir drugog imamo (n-1) mogućnosti, jednu manje, jer smo već koristili opciju prilikom odabira prve. Taj se postupak nastavlja sve dok ne ostane samo jedan element.
Da bismo odredili ukupan broj permutacija, množimo broj mogućnosti koje postoje pri odabiru svakog elementa. Tako:
Gornji izraz naziva se faktorijem od n i koristimo simbol Ne!.
nauči više o faktorijel ovdje.
Primjer:
Različiti načini organiziranja slova riječi nazivaju se anagrami. Koliko anagrama ima za riječ PATKA?
Ovo su mogućnosti:
Dakle, kako riječ PATO ima 4 slova, moramo
Dakle, postoje 24 jednostavne permutacije za riječ PATAK.
Jednostavne permutacijske vježbe
Pitanje 1
Izračunajte vrijednost .
pitanje 2
Razmotrite red ljudi koji prvi dođu, prvi ih posluže, u kojima u bilo kojem trenutku ima šestero ljudi. Na koliko se različitih načina ti ljudi mogu rangirati od prvog do posljednjeg?
Svaki obrazac za narudžbu jednostavna je permutacija, jer su pojedinci jedinstveni i ne ponavljaju se. Dakle, kod šest ljudi odgovor je permutacija sa 6 elemenata.
pitanje 3
Razmislite o riječi VILICA i odgovorite na sljedeća pitanja?
a) Koliko je anagrama riječi VILJUŠKA?
Budući da se slova ne ponavljaju, ovo je jednostavan slučaj permutacije s 5 elemenata.
b) Koliko anagrama započinje slovom A?
U ovom slučaju popravljamo slovo A na početku i izračunavamo permutacije slovima GRFO, koja su permutacije 4 elementa.
1 mogućnost za slovo A x .
c) Koliko ima anagrama ako su samoglasnici uvijek jedan pored drugog?
Jedna od mogućnosti bila bi G R F A O.
Postoje tri načina za poredanje suglasnika. P3 = 3 x 2 x 1 = 6
Postoje dva načina za poredak samoglasnika. P2 = 2 x 1 = 2
Još uvijek postoje dva načina za organiziranje grupa (suglasnika i samoglasnika) među sobom. P2 = 2 x 1 = 2
Sada samo pomnožite rezultate.
P3 x P2 x P2 = 6 x 2 x 2 = 24
Dakle, postoje 24 anagrama gdje su samoglasnici uvijek zajedno.
Permutacija s ponavljanjem
Permutacija s ponovljenim elementima događa se kada su u skupu od n elemenata neki od njih jednaki.
U formuli za određivanje broja permutacija s ponavljanjem dijelimo faktorijel ukupnog broja n elemenata s umnožkom faktorijela ponavljajućih elemenata.
je broj permutacija n elemenata.
to su brojevi elemenata svake vrste koji se ponavljaju.
je faktorijel ukupnog broja elemenata n.
Primjeri
Odredimo koliko postoji permutacija za riječ EGG. Da bismo to olakšali, obojajmo slova. Pogledajmo anagrame riječi EGG.
Broj jednostavnih permutacija s 3 elementa dan je s
Međutim, neke se permutacije ponavljaju i ne možemo ih izbrojiti dva puta. Za to moramo podijeliti vrijednost (jer riječ ima tri slova), autor
(jer se slovo O ponavlja dva puta).
Dakle, broj permutacija za slova riječi OVO jednak je 3.
Pogledajmo ovaj drugi primjer gdje ćemo definirati broj permutacija za slova riječi BANANA.
Gdje:
označava permutaciju sa 6 elemenata gdje se slova A i N ponavljaju.
3! jer se slovo A ponavlja tri puta.
2! jer se slovo N ponavlja dva puta.
Savjet za olakšavanje izračuna je razvijanje 6! dok ne dosegnete 3!, pojednostavljujući nazivnikom. Pogledajte razvoj.
Dakle, broj permutacija za slova u riječi BANANA jednak je 60.
Možda vas zanimaju ovi sadržaji iz kombinacijske analize:
Kombinacijska analiza
Vježbe iz kombinacijske analize
