O Pitagorin poučak navodi duljinu stranica pravokutnog trokuta. Ova geometrijska figura formirana je unutarnjim kutom od 90 °, koji se naziva pravim kutom.
Izjava ovog teorema je:
"Zbroj kvadrata vaših nogu odgovara kvadratu vaše hipotenuze."
Formula Pitagorinog teorema
Prema izjavi Pitagorinog teorema, formula je predstavljena na sljedeći način:
The2 = b2 + c2
Biće,
The: hipotenuza
B: kateto
ç: kateto
THE hipotenuza je najduža stranica pravokutnog trokuta i stranica nasuprot pravom kutu. Ostale dvije strane su noge. Kut koji čine ove dvije stranice ima mjeru jednaku 90º (pravi kut).
Identificirali smo i noge, prema referentnom kutu. To jest, strana se može nazvati susjednom stranom ili suprotnom stranom.
Kad je noga blizu referentnog kuta, naziva se a susjedni, s druge strane, ako je protiv ovog kuta, zove se suprotan.
Ispod su tri primjera primjene Pitagorinog teorema na metričke odnose pravokutnog trokuta.
Primjer 1: izračunati mjeru hipotenuze
Ako pravokutni trokut ima mjere 3 i 4 cm kao mjere nogu, koja je hipotenuza ovog trokuta?
Stoga su stranice pravokutnog trokuta 3 cm, 4 cm i 5 cm.
Primjer 2: izračunajte mjeru jedne od nogu
Odredite mjeru katete koja je dio pravokutnog trokuta, čija je hipotenuza 20 cm, a druga kateta 16 cm.
Stoga su mjere stranica pravokutnog trokuta 12 cm, 16 cm i 20 cm.
Primjer 3: provjerite je li trokut pravokutnik
Trokut ima stranice dimenzija 5 cm, 12 cm i 13 cm. Kako znati je li to pravokutni trokut?
Da bi dokazali da je pravokutni trokut istinit, mjerenja njegovih stranica moraju se pokoravati Pitagorinom teoremu.
Kako dane mjere zadovoljavaju Pitagorin teorem, tj. Kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta, tada možemo reći da je trokut pravokutnik.
Pročitajte i vi: Metrički odnosi u pravokutnom trokutu
Pitagorin trokut
Kada se mjere stranice a pravokutni trokut su pozitivni cijeli brojevi, trokut se naziva pitagorejskim trokutom.
U ovom se slučaju noge i hipotenuza nazivaju "pitagorejsko odijelo" ili "pitagorejski trio". Da bismo provjerili tvore li tri broja pitagorejski trio, koristimo odnos prema2 = b2 + c2.
Najpoznatiji pitagorejski trio predstavljen je brojevima: 3, 4, 5. Hipotenuza je jednaka 5, veći krak jednak 4 i manji krak jednak 3.
Imajte na umu da su površine kvadrata nacrtane sa svake strane trokuta povezane baš kao i Pitagorin teorem: površina kvadrata na dugoj strani odgovara zbroju površina ostale dvije kvadrat.
Zanimljivo je da višekratnici ovih brojeva tvore i pitagorejsku odijelo. Na primjer, ako trio 3, 4 i 5 pomnožimo s 3, dobit ćemo brojeve 9, 12 i 15 koji također tvore pitagorejsku odijelo.
Pored odijela 3, 4 i 5, postoji mnoštvo drugih odijela. Kao primjer možemo spomenuti:
- 5, 12 i 13
- 7, 24, 25
- 20, 21 i 29
- 12, 35 i 37
Pročitajte i vi: Trigonometrija u pravokutnom trokutu
Tko je bio Pitagora?
prema povijesti Pitagora sa Samosa (570. a. Ç. - 495 a. C.) bio je grčki filozof i matematičar koji je osnovao Pitagorinu školu smještenu u južnoj Italiji. Nazivalo se i Pitagorino društvo, uključivalo je studije matematike, astronomije i glazbe.
Iako su metričke odnose pravokutnog trokuta već poznavali Babilonci, koji su živjeli mnogo prije Pitagore, vjeruje se da je prvi dokaz da je ovaj teorem primijenjen na bilo koji pravokutni trokut napravio Pitagora.
Pitagorin teorem jedan je od najpoznatijih, najvažnijih i korištenih teorema u matematici. Bitan je u rješavanju problema u analitičkoj geometriji, ravninskoj geometriji, prostornoj geometriji i trigonometriji.
Pored teorema, drugi važni doprinosi Pitagorinog društva za matematiku bili su:
- Otkrivanje iracionalnih brojeva;
- Svojstva cijelih brojeva;
- MMC i MDC.
Pročitajte i vi: Matematičke formule
Dokazi Pitagorinog teorema
Postoji nekoliko načina da se dokaže Pitagorin teorem. Na primjer, knjiga Pitagorin prijedlog, objavljeno 1927., predstavilo je 230 načina da se to demonstrira, a drugo izdanje, izdano 1940., povećalo se na 370 demonstracija.
Pogledajte video u nastavku i pogledajte neke demonstracije Pitagorinog teorema.
Komentirane vježbe o pitagorejskom teoremu
Pitanje 1
(PUC) Zbroj kvadrata triju stranica pravokutnog trokuta jednak je 32. Koliko je duga hipotenuza trokuta?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
Ispravna alternativa: b) 4.
Iz podataka u izjavi znamo da2 + b2 + c2 = 32. S druge strane, prema Pitagorinom teoremu moramo2 = b2 + c2 .
Zamjena vrijednosti b2+ c2 od strane2 u prvom izrazu nalazimo:
The2 + the2 =32 ⇒ 2. The2 = 32 ⇒ do2 = 32/2 ⇒ do2 = 16 ⇒ a = √ 16
a = 4
Za više pitanja pogledajte: Pitagorin teorem - vježbe
pitanje 2
(I ili)
Na gornjoj slici, koja predstavlja dizajn stubišta s 5 stepenica iste visine, ukupna duljina rukohvata jednaka je:
a) 1,9 m
b) 2,1 m
c) 2,0 m
d) 1,8 m
e) 2,2 m
Ispravna alternativa: b) 2,1 m.
Ukupna duljina rukohvata bit će jednaka zbroju dva dijela duljine jednaka 30 cm s presjekom za koji ne znamo mjeru.
Sa slike možemo primijetiti da nepoznati presjek predstavlja hipotenuzu pravokutnog trokuta čija je mjera jednog od kateta jednaka 90 cm.
Da bismo pronašli mjeru druge noge, moramo dodati duljinu od 5 koraka. Prema tome imamo b = 5. 24 = 120 cm.
Da bismo izračunali hipotenuzu, primijenimo Pitagorin teorem na ovaj trokut.
The2 = 902 + 1202 do2 = 8100 + 14 400 ⇒ do2 = 22 500 ⇒ a = √ 22 500 = 150 cm
Imajte na umu da smo za izračun hipotenuze mogli koristiti ideju pitagorejskih odijela, jer su noge (90 i 120) višestruke od 3, 4 i 5 odijela (množeći sve pojmove s 30).
Na taj će način ukupna mjera rukohvata biti:
30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 m
Provjerite svoje znanje s Vježbe trigonometrije
pitanje 3
(UERJ) Millôr Fernandes, u prekrasnom priznanju Matematike, napisao je pjesmu iz koje izdvajamo fragment u nastavku:
Na toliko listova knjige iz matematike,
Kvocijent se jednog dana divlje zaljubio
od strane Nepoznatog.
Gledao ju je svojim nebrojenim pogledom
i vidio ju je od vrha do baze: neobična figura;
romboidne oči, trapezoidna usta,
pravokutno tijelo, sferoidne grudi.
Učinio svoj život paralelnim s njezinim,
sve dok se nisu sreli u Beskraju.
"Tko si ti?" - pitao je u radikalnoj tjeskobi.
“Ja sam zbroj kvadrata nogu.
Ali možeš me nazvati hipotenuzom.”
(Millôr Fernandes. Trideset godina sebe.)
Incognita je pogriješila kad je rekla o kome se radi. Da bi se udovoljilo Pitagorinom teoremu, treba učiniti sljedeće
a) „Ja sam kvadrat zbroja nogu. Ali zovi me kvadrat hipotenuze. "
b) „Ja sam zbroj nogu. Ali možeš me nazvati hipotenuzom. "
c) „Ja sam kvadrat zbroja nogu. Ali možeš me nazvati hipotenuzom. "
d) „Ja sam zbroj kvadrata nogu. Ali zovi me kvadrat hipotenuze. "
Alternativa d) „Ja sam zbroj kvadrata nogu. Ali zovi me kvadrat hipotenuze. "
Saznajte više o temi:
- jednakokračan trokut
- Sinus, kosinus i tangenta
- Matematika u neprijatelju
