Jednadžba prave može se odrediti crtanjem na kartezijanskoj ravnini (x, y). Poznavajući koordinate dviju različitih točaka koje pripadaju pravcu možemo odrediti njegovu jednadžbu.
Također je moguće definirati jednadžbu ravne crte na temelju njenog nagiba i koordinata točke koja joj pripada.
opća jednadžba pravca
Dvije točke definiraju liniju. Na taj način možemo pronaći opću jednadžbu pravca poravnavanjem dviju točaka s generičkom točkom (x, y) na liniji.
Neka su točke A (xTheyyThe) i B (xByyB), nije slučajno i pripada kartezijanskom planu.
Tri su točke poravnate kada je odrednica matrice pridružene tim točkama jednaka nuli. Dakle, moramo izračunati odrednicu sljedeće matrice:
Razvijanjem odrednice nalazimo sljedeću jednadžbu:
(godThe -yB) x + (xB - xThe) y + xThegB - xBgThe = 0
Nazovimo:
a = (yThe -yB)
b = (xB - xThe)
c = xThegB - xBgThe
Opća jednadžba ravne crte definirana je kao:
sjekira + za + c = 0
Gdje The, B i ç su stalni i The i B ne mogu biti istodobno nulti.
Primjer
Naći opću jednadžbu pravca koji prolazi kroz točke A (-1, 8) i B (-5, -1).
Prvo moramo napisati uvjet poravnanja u tri točke, definirajući matricu povezanu s danim točkama i generičku točku P (x, y) koja pripada pravoj.
Razvijajući odrednicu, nalazimo:
(8 + 1) x + (1-5) y + 40 + 1 = 0
Opća jednadžba pravca koji prolazi kroz točke A (-1,8) i B (-5, -1) je:
9x - 4g + 41 = 0
Da biste saznali više, također pročitajte:
- Zapovjedništvo
- determinanta
- Laplaceov teorem
Linijska reducirana jednadžba
Kutni koeficijent
Možemo pronaći jednadžbu pravca r znajući njegov nagib (smjer), odnosno vrijednost kuta θ koji crta prikazuje u odnosu na os x.
Za ovo povezujemo broj m, koji se naziva nagib crte, takav da:
m = tg θ
nagib m može se naći i poznavanjem dviju točaka koje pripadaju pravoj crti.
Kako je m = tg θ, tada:
Primjer
Odrediti nagib prave r koja prolazi kroz točke A (1,4) i B (2,3).
Biće,
x1 = 1 i y1 = 4
x2 = 2 i y2 = 3
Poznavanje kutnog koeficijenta pravca m i točka P0(x0yy0) koji mu pripadaju, možemo definirati njegovu jednadžbu.
Za to ćemo u formuli nagiba zamijeniti poznatu točku P.0 i generička točka P (x, y), koja također pripada liniji:
Primjer
Odredite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točku A (2,4) i ima nagib 3.
Da biste pronašli jednadžbu crte, samo zamijenite zadane vrijednosti:
y - 4 = 3 (x - 2)
y - 4 = 3x - 6
-3x + y + 2 = 0
linearni koeficijent
linearni koeficijent Ne ravno r definira se kao točka u kojoj crta presijeca y osu, odnosno točku koordinata P (0, n).
Koristeći ovu točku, imamo:
y - n = m (x - 0)
y = mx + n (jednadžba reducirane crte).
Primjer
Znajući da je jednadžba prave r zadana s y = x + 5, identificirajte njezin nagib, nagib i točku na kojoj linija presijeca os y.
Kako imamo reduciranu jednadžbu pravca, onda:
m = 1
Gdje je m = tg θ ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45º
Točka presjeka crte s osi y je točka P (0, n), gdje je n = 5, tada će točka biti P (0,5)
Pročitajte i vi Proračun nagiba
Jednadžba pravca
Nagib možemo izračunati pomoću točke A (a, 0) da linija presijeca os x i točke B (0, b) koja presijeca os y:
Uzimajući u obzir n = b i zamjenu u smanjenom obliku, imamo:
Dijeleći sve članove s ab, nalazimo segmentarnu jednadžbu pravca:
Primjer
Napišite, u segmentarnom obliku, jednadžbu pravca koji prolazi kroz točku A (5.0) i ima nagib 2.
Prvo pronađimo točku B (0, b), zamjenjujući u izrazu nagiba:
Zamjenjujući vrijednosti u jednadžbi, imamo segmentarnu jednadžbu crte:
Pročitajte i o:
- Kartezijanski plan
- Udaljenost između dvije točke
- stožast
- ravno
- Paralelne linije
- Okomite crte
- Segment linije
- Linearna funkcija
- Afina funkcija
- Vježbe povezane funkcije
Riješene vježbe
1) S obzirom na pravac koji ima jednadžbu 2x + 4y = 9, odredite njegov nagib.
4y = - 2x + 9
y = - 2/4 x + 9/4
y = - 1/2 x + 9/4
Stoga je m = - 1/2
2) Napiši jednadžbu pravca 3x + 9y - 36 = 0 u smanjenom obliku.
y = -1/3 x + 4
3) ENEM - 2016
Za sajam znanosti grade se dva raketna projektila A i B koji će biti lansirani. Plan je da se oni lansiraju zajedno, s ciljem da projektil B presretne A kad dosegne maksimalnu visinu. Da bi se to dogodilo, jedan od projektila opisat će paraboličnu putanju, dok će drugi opisati navodno ravnu putanju. Grafikon prikazuje visine koje su ovi projektili postigli u ovisnosti o vremenu u provedenim simulacijama.
Na temelju ovih simulacija uočeno je da putanju projektila B treba promijeniti tako da
cilj je postignut.
Da bi se postigao cilj, kutni koeficijent linije koja predstavlja putanju B mora
a) smanjiti za 2 jedinice.
b) smanjiti za 4 jedinice.
c) povećati za 2 jedinice.
d) povećati za 4 jedinice.
e) povećati za 8 jedinica.
Prvo moramo pronaći početnu vrijednost nagiba pravca B.
Sjećajući se da je m = tg Ɵ, imamo:
m1 = 12/6 = 2
Da bi prošao kroz točku maksimalne visine putanje A, nagib linije B mora imati sljedeću vrijednost:
m2 = 16/4 = 4
Dakle, nagib crte B morat će se promijeniti s 2 na 4, a zatim će se povećati za 2 jedinice.
Alternativa c: povećati 2 jedinice
Vidi i ti: Vježbe iz analitičke geometrije
