O Vennov dijagram, poznat i kao Venn-Eulerov dijagram, je način grafičkog prikaza skupa, za to koristimo zatvorenu liniju koja nema samo-presijecanje i predstavljamo elemente skupa unutar ove crte. Ideja dijagrama je olakšati razumijevanje u osnovne skupne operacije, kao što su: odnos uključivanja i pripadnosti, spajanje i presijecanje, razlika i komplementarni skup.
Pročitajte i vi: Operacije između cijelih brojeva: znati svojstva
Prikazi Vennovog dijagrama
Kao što je prikazano, Vennov se dijagram sastoji od zatvorene (ne ispreplićuće se) crte na koju "postavljamo" elemente dotičnog skupa, tako da možemo predstavljaju jedan ili više skupova istovremeno. Pogledajte primjere:
• Jedan set
Možemo vas zastupati pomoću jedna zatvorena linija, na primjer, predstavimo skup A = {1, 3, 5, 7, 9}:
• Između dva seta
Moramo napraviti dva grafa poput onog za predstavljanje pojedinog skupa. Međutim, iz operacija sa skupovima znamo da: s obzirom na dva skupa, oni se mogu i ne moraju presijecati. Ako se dva skupa ne sijeku, oni će biti imenovani disjontni skupovi.
Primjer 1
Nacrtajte, koristeći Vennov dijagram, skupove A = {a, b, c, d, e, f} i B = {d, e f, g, h, i}.
Imajte na umu da je presjek dio dijagrama koji pripada dvama skupovima, baš kao u definiciji.
A ∩ B = {d, e, f}
Primjer 2
Nacrtajte skupove C = {a, b, c, d} i D = {e, f, g, h}.
Imajte na umu da je presjek ovih skupova prazan, jer nema nijedan element koji istovremeno pripada obojici, to jest:
C ∩ D = {}
• Između tri seta
Ideja iza prikaza koji koristi Vennov dijagram za tri skupa slična je prikazu između dva skupa. U tom smislu, skupovi mogu biti razdvojeni jedan po jedan, tj. Nemaju presjek; ili mogu biti dva prema dva razdvojena, odnosno samo se dva od njih sijeku; ili se svi sijeku.
Primjer
Prikaz, koristeći Vennov dijagram, skupova A = {a, b, c, d}, B = {d, e, f, g} i C = {d, e, c, h}.
Pogledajte i: Važni skupovi zapisa
Ne zaustavljaj se sada... Ima još toga nakon oglašavanja;)
članski odnos
Odnos članstva omogućuje nam da kažemo pripada li element nekom skupu ili ne. Za to koristimo simbole:
Razmotrimo skup A = {a, b, c, d}. Analizirajući to, shvaćamo da g, na primjer, ne pripada njemu, pa u Vennovom dijagramu imamo:
Odnos inkluzije
Odnos inkluzije omogućuje nam da kažemo bez obzira sadrži li skup neki drugi skup. Kad je skup sadržan u drugom, kažemo da je a podskup. Za to koristimo simbole:
Primjer za to je odnos između skupa prirodni brojevi i skup od cijeli brojevi. Znamo da je skup prirodnih brojeva podskup skupa cijelih brojeva, tj. skup prirodnih sadržan je u skupu cijelih brojeva.
Operacije između skupova
Osnovne operacije između dva ili više skupova su: jedinstvo, križanje i razlika između dva skupa.
• Unija
Unija između dva skupa nastaje spajanjem elemenata sadržanih u svakom skupu, drugim riječima: uzimaju se u obzir svi elementi dvaju skupova. Izgled:
Razmotrimo skupove A = {1, 2, 3, 4} i B = {3, 4, 5, 6, 7}. Zajednicu između njih daju:
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
U Vennovom dijagramu zasjenili smo spojni dio, odnosno oba skupa, provjerite:
• Raskrižje
Sjecište je novi numerički skup koji čine elementi koji istovremeno pripadaju drugim skupovima. Općenito govoreći, presjek između skupova u Vennovom dijagramu dan je dijelom zajedničkim za uključene grafove. Izgled:
Razmatrajući opet skupove A = {1, 2, 3, 4} i B = {3, 4, 5, 6, 7}, imamo da elementi koji istovremeno pripadaju skupu A i skupu B jesu :
A ∩ B = {3,4}
• Razlika između dva seta
Razmotrimo dva skupa C i D, razlika između njih (C - D) bit će novi skup formiran od elemenata koji pripadaju C, a ne pripadaju D. Općenito, tu razliku možemo prikazati pomoću Vennovog dijagrama kako slijedi:
riješene vježbe
Pitanje 1 - (Ufal) Na sljedećoj su slici predstavljeni nerazdvojeni skupovi A, B i C. Obojeno područje predstavlja skup:
a) C - (A ∩ B)
b) (A ∩ B) - C
c) (A U B) - C
d) A U B U C
e) A ∩ B ∩ C
Riješenje
Alternativa b.
Prisjećajući se operacija sa skupovima, znamo da je presjek dvaju skupova u Vennovom dijagramu dan njima zajedničkim dijelom. S obzirom na skupove A, B i C i bojanje presjeka skupova A ∩ B, imamo:
Titula: Rješenje pitanje1 - 1. dio
Imajte na umu da ako uklonimo elemente iz skupa C, dobit ćemo obojeni dio koji zahtijeva vježba, odnosno u početku moramo istaknuti presjek, a zatim ukloniti elemente iz C.
(A ∩ B) - C
pitanje 2 - (Uerj) Djeca u školi sudjelovala su u kampanji cijepljenja protiv dječje paralize i ospica. Nakon kampanje utvrđeno je da je 80% djece primilo cjepivo za paralizu, 90% cjepivo protiv ospica, a 5% ni jedno ni drugo.
Odredite postotak djece u ovoj školi koja su primila oba cjepiva.
Riješenje
Kako je postotak djece koja su primila oba cjepiva nepoznat, nazovimo ga x. Imajte na umu da ne smijemo raditi sa simbolom%, već zapisati postotke vježbe u decimalnom ili razlomljenom obliku.
80 % → 0,8
90% → 0,9
5% → 0,05
100% → 1
Da bismo saznali ukupan broj djece koja su uzimala samo cjepivo za paralizu, oduzeli smo provjereni postotak (80%) postotka onih koji su uzimali oba (x), a isto bi trebalo učiniti i za djecu koja su uzela cjepivo samo protiv ospice. Tako:
Ako se pridružite svoj djeci, postotak će biti 100%, dakle:
0,9 - x + x + 0,8 - x + 0,05 = 1
1,75 - x = 1
- x = 1 - 1,75
(–1) · - x = - 0,75 · (–1)
x = 0,75
x = 75%
Stoga je 75% djece u školi imalo oba cjepiva.
Napisao L.do Robson Luiz
Učitelj matematike
