बहुपद गुणनखंड: प्रकार, उदाहरण और अभ्यास

फैक्टरिंग गणित में उपयोग की जाने वाली एक प्रक्रिया है जिसमें कारकों के उत्पाद के रूप में एक संख्या या अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व होता है।

अन्य बहुपदों के गुणन के समान बहुपद लिखकर, हम अक्सर व्यंजक को सरल बना सकते हैं।

नीचे बहुपद गुणनखंडों के प्रकारों की जाँच करें:

साक्ष्य में सामान्य कारक

हम इस प्रकार के गुणनखंड का उपयोग तब करते हैं जब कोई गुणनखंड बहुपद के सभी पदों में स्वयं को दोहराता है।

यह कारक, जिसमें संख्याएँ और अक्षर हो सकते हैं, कोष्ठक के सामने रखा जाएगा।

कोष्ठक के अंदर बहुपद के प्रत्येक पद को उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित करने का परिणाम होगा।

व्यवहार में, आइए निम्नलिखित चरण करें:

1º) पहचानें कि क्या कोई संख्या है जो बहुपद के सभी गुणांक और सभी शब्दों में दोहराए गए अक्षरों को विभाजित करती है।
2º) कोष्ठकों के सामने सामान्य गुणनखंड (संख्या और अक्षर) रखें (साक्ष्य में)।
३) बहुपद के प्रत्येक गुणनखंड को प्रमाण में मौजूद गुणनखंड से विभाजित करने के परिणाम को कोष्ठक में रखें। अक्षरों के मामले में, हम एक ही आधार की शक्तियों के विभाजन के नियम का उपयोग करते हैं।

उदाहरण

a) बहुपद 12x + 6y - 9z का गुणनखंड रूप क्या है?

सबसे पहले, हम पहचानते हैं कि संख्या 3 सभी गुणांकों को विभाजित करता है और ऐसा कोई अक्षर नहीं है जो दोहराता है।

हम संख्या 3 को कोष्ठक के सामने रखते हैं, हम सभी पदों को तीन से विभाजित करते हैं और परिणाम हम कोष्ठक के अंदर रखेंगे:

12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)

बी) फैक्टर 2ए²बी + 3ए³सीए⁴.

चूंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है जो एक ही समय में 2, 3 और 1 को विभाजित करती है, हम कोष्ठक के सामने कोई संख्या नहीं रखेंगे।

पत्र सभी शब्दों में दोहराया जाता है। सामान्य कारक होगा ², जो. का सबसे छोटा घातांक है अभिव्यक्ति में।

हम बहुपद के प्रत्येक पद को से भाग देते हैं ²:

2² बी: द² = दूसरा^{2 - 2} बी = 2बी

3³सी: द² = तीसरा^{3 - 2} सी = 3ac

⁴: ए² = द²

हम डाल दिया ² कोष्ठक के सामने और कोष्ठक के भीतर विभाजन के परिणाम:

2²बी + 3ए³सीए⁴ = द² (2b + 3ac - a²)

समूहीकरण

जिस बहुपद में कोई ऐसा गुणनखंड नहीं होता है जिसे सभी पदों में दोहराया जाता है, उसमें हम समूहन द्वारा गुणनखंड का उपयोग कर सकते हैं।

इसके लिए हमें उन शब्दों की पहचान करनी चाहिए जिन्हें सामान्य कारकों द्वारा समूहीकृत किया जा सकता है।

इस प्रकार के गुणनखंड में, हम समूहों के सामान्य कारकों को साक्ष्य में रखते हैं।

उदाहरण

बहुपद mx + 3nx + my + 3ny. का गुणनखंड करें

शर्तें एमएक्स तथा ३एनएक्स एक सामान्य कारक के रूप में है एक्स. पहले से ही शर्तें मेरे तथा 3ny एक सामान्य कारक के रूप में है आप.

इन कारकों को साक्ष्य में रखते हुए:

एक्स (एम + 3एन) + वाई (एम + 3एन)

ध्यान दें कि (m + 3n) अब भी दोनों पदों में दोहराया जाता है।

इसे फिर से प्रमाण में रखने पर, हम बहुपद का गुणनखंडित आकार पाते हैं:

mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)

परफेक्ट स्क्वायर ट्रिनोमियल

त्रिपद 3 पदों वाले बहुपद हैं।

पूर्ण वर्ग त्रिपद aals² + 2ab + बी² और यह² - 2ab + b² प्रकार के उल्लेखनीय उत्पाद से परिणाम (ए + बी)² और (ए - बी)².

इस प्रकार, पूर्ण वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन होगा:

² + 2ab + बी² = (ए + बी)² (दो पदों के योग का वर्ग)

² - 2ab + b² = (ए - बी)² (दो पदों के अंतर का वर्ग)

यह पता लगाने के लिए कि क्या त्रिपद वास्तव में एक पूर्ण वर्ग है, हम निम्नलिखित कार्य करते हैं:

1º) वर्गमूल में आने वाले पदों का वर्गमूल परिकलित करें।
2) प्राप्त मूल्यों को 2 से गुणा करें।
३) उस पद से मिले मान की तुलना करें जिसमें वर्ग नहीं हैं। यदि वे बराबर हैं, तो यह एक पूर्ण वर्ग है।

उदाहरण

क) बहुपद x का गुणनखंड करें² + 6x + 9

सबसे पहले, हमें यह परीक्षण करना होगा कि क्या बहुपद एक पूर्ण वर्ग है।

x² = एक्स और √9 = 3

2 से गुणा करने पर हम पाते हैं: 2. 3. एक्स = 6x

चूँकि पाया गया मान उस पद के बराबर है जो वर्ग नहीं है, बहुपद पूर्ण वर्ग है।

इस प्रकार, गुणनखंड होगा:

एक्स² + 6x + 9 = (x + 3)²

बी) बहुपद x. का गुणनखंड करें² - 8xy + 9y²

परीक्षण अगर यह एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है:

x² = एक्स और √9y² = 3y

गुणन करना: २. एक्स। 3y = 6xy

पाया गया मान बहुपद (8xy 6xy) के पद से मेल नहीं खाता।

चूंकि यह एक पूर्ण वर्ग त्रिपद नहीं है, इसलिए हम इस प्रकार के गुणनखंड का उपयोग नहीं कर सकते।

दो वर्गों का अंतर

a प्रकार के बहुपदों का गुणनखंड करने के लिए² - बी² हम योग और अंतर के उल्लेखनीय उत्पाद का उपयोग करते हैं।

इस प्रकार, इस प्रकार के बहुपदों का गुणनखंडन होगा:

² - बी² = (ए + बी)। (ए - बी)

गुणनखंड करने के लिए, हमें दो पदों के वर्गमूल की गणना करनी चाहिए।

फिर पाए गए मानों के योग और इन मानों के बीच के अंतर का गुणनफल लिखें।

उदाहरण

9x द्विपद का गुणनखंड करें² - 25.

सबसे पहले, पदों का वर्गमूल ज्ञात कीजिए:

9x² = 3x और √25 = 5

इन मानों को योग और अंतर के गुणनफल के रूप में लिखें:

9x² - 25 = (3x + 5)। (3x - 5)

उत्तम घन

बहुपद³ + 3²बी+3एबी² + बी³ और यह³ - तीसरा²बी+3एबी² - बी³ प्रकार के उल्लेखनीय उत्पाद से परिणाम (ए + बी)³ या (ए - बी)³.

इस प्रकार, पूर्ण घन का गुणनखंड आकार है:

³ + 3²बी+3एबी² + बी³ = (ए + बी)³

³ - तीसरा²बी+3एबी² - बी³ = (ए - बी)³

ऐसे बहुपदों का गुणनखंड करने के लिए, हमें घन के पदों के घनमूल की गणना करनी चाहिए।

बाद में, यह पुष्टि करना आवश्यक है कि बहुपद एक पूर्ण घन है।

यदि ऐसा है, तो हम पाए गए घनमूलों के मानों का योग या घटाव करते हैं।

उदाहरण

क) बहुपद x का गुणनखंड करें³ + 6x² + 12x + 8

सबसे पहले, आइए क्यूब किए गए पदों के घनमूल की गणना करें:

³एक्स³ = एक्स और ³√ 8 = 2

फिर पुष्टि करें कि क्या यह एक पूर्ण घन है:

3. एक्स². 2 = 6x²

3. एक्स। 2² = 12x

चूँकि पाए गए पद बहुपद के पदों के समान हैं, तो यह एक पूर्ण घन है।

इस प्रकार, गुणनखंड होगा:

एक्स³ + 6x² + 12x + 8 = (x + 2)³

b) बहुपद का गुणनखंड a³ - 9वीं² + २७वां - २७वां

आइए पहले क्यूब किए गए पदों के घनमूल की गणना करें:

³सेवा मेरे³ = ए और ³√ - 27 = - 3

फिर पुष्टि करें कि क्या यह एक पूर्ण घन है:

3.². (-3) = - ९वीं²

3. द. (- 3)² = २७वां

चूँकि पाए गए पद बहुपद के पदों के समान हैं, तो यह एक पूर्ण घन है।

इस प्रकार, गुणनखंड होगा:

³ - 9वीं² + 27a - 27 = (a - 3)³

यह भी पढ़ें:

• क्षमता
• बहुपदों
• बहुपदीय फलन
• अभाज्य सँख्या

हल किए गए व्यायाम

निम्नलिखित बहुपदों का गुणनखंड कीजिए:

क) 33x + 22y - 55z
बी) ६एनएक्स - ६एनवाई
ग) 4x - 8c + mx - 2mc
घ) 49 - द -²
ई) 9वीं² + १२वीं + ४

उत्तर देखो

ए) 11. (3x + 2y - 5z)
बी) 6एन। (एक्स - वाई)
सी) (एक्स - 2 सी)। (4 + एम)
डी) (7 + ए)। (7 - ए)
ई) (तीसरा + 2)²

यह भी देखें:

• बीजीय व्यंजक
• बीजीय व्यंजकों पर अभ्यास
• उल्लेखनीय उत्पाद
• उल्लेखनीय उत्पाद - व्यायाम