उलटा मैट्रिक्स गणना: गुण और उदाहरण

उलटा मैट्रिक्स या उलटा मैट्रिक्स एक प्रकार का है वर्ग मैट्रिक्सअर्थात्, इसमें पंक्तियों (m) और स्तंभों (n) की संख्या समान है।

यह तब होता है जब दो आव्यूहों के गुणनफल का परिणाम होता है a समान-क्रम पहचान मैट्रिक्स (पंक्तियों और स्तंभों की समान संख्या)।

इस प्रकार, मैट्रिक्स के व्युत्क्रम को खोजने के लिए, गुणन का उपयोग किया जाता है।

द. बी = बी. ए = मैं_{नहीं न} (जब मैट्रिक्स बी मैट्रिक्स ए के विपरीत है)

लेकिन आइडेंटिटी मैट्रिक्स क्या है?

पहचान मैट्रिक्स परिभाषित किया जाता है जब मुख्य विकर्ण के सभी तत्व 1 के बराबर होते हैं और अन्य तत्व 0 (शून्य) के बराबर होते हैं। यह I. द्वारा इंगित किया गया है_{नहीं न}:

उलटा मैट्रिक्स गुण

• प्रत्येक मैट्रिक्स के लिए केवल एक व्युत्क्रम है।
• सभी आव्यूहों में व्युत्क्रम मैट्रिक्स नहीं होता है। यह केवल तभी उलटा होता है जब वर्ग मैट्रिक्स के उत्पाद एक पहचान मैट्रिक्स (I .) में परिणत होते हैं_{नहीं न})
• व्युत्क्रम का व्युत्क्रम मैट्रिक्स स्वयं मैट्रिक्स से मेल खाता है: A = (A .)^-1)^-1
• व्युत्क्रम मैट्रिक्स का ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स भी उलटा होता है: (ए^तो) ^-1 = (ए^-1)^तो
• एक ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स का व्युत्क्रम मैट्रिक्स व्युत्क्रम के स्थानान्तरण से मेल खाता है: (ए^{-1 टी) -1}
• पहचान मैट्रिक्स का व्युत्क्रम मैट्रिक्स पहचान मैट्रिक्स के बराबर है: I^-1 = मैं

यह भी देखें: मैट्रिसेस

उलटा मैट्रिक्स उदाहरण

2x2 उलटा मैट्रिक्स

3x3 उलटा मैट्रिक्स

चरण दर चरण: व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना कैसे करें?

हम जानते हैं कि यदि दो आव्यूहों का गुणनफल पहचान आव्यूह के बराबर है, तो इस आव्यूह का व्युत्क्रम होता है।

ध्यान दें कि यदि मैट्रिक्स A, मैट्रिक्स B का व्युत्क्रम है, तो संकेतन का उपयोग किया जाता है: A^-1.

उदाहरण: 3x3 कोटि के नीचे आव्यूह का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।

सबसे पहले हमें यह याद रखना चाहिए कि ए.^-1 = I (मैट्रिक्स को इसके व्युत्क्रम से गुणा करने पर आइडेंटिटी मैट्रिक्स I होगा_{नहीं न}).

पहली मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के प्रत्येक तत्व को दूसरे मैट्रिक्स के प्रत्येक कॉलम से गुणा किया जाता है।

इसलिए, पहली मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति के तत्वों को दूसरे के कॉलम से गुणा किया जाता है।

और अंत में, दूसरे के कॉलम के साथ पहली की तीसरी पंक्ति:

पहचान मैट्रिक्स के साथ तत्वों का मिलान करके, हम निम्नलिखित के मूल्यों की खोज कर सकते हैं:

ए = 1
बी = 0
सी = 0

इन मूल्यों को जानने के बाद, हम मैट्रिक्स में अन्य अज्ञात की गणना कर सकते हैं। पहली मैट्रिक्स की तीसरी पंक्ति और पहले कॉलम में हमारे पास + 2d = 0 है। तो आइए का मान ज्ञात करके प्रारंभ करें घ, पाए गए मानों को बदलकर:

1 + 2d = 0
2डी = -1
घ = -1/2

इसी तरह, तीसरी पंक्ति और दूसरे कॉलम में हम का मान ज्ञात कर सकते हैं तथा:

बी + 2e = 0
0 + 2e = 0
2e = 0
ई = 0/2
ई = 0

जारी रखते हुए, हमारे पास तीसरे कॉलम की तीसरी पंक्ति है: c + 2f। ध्यान दें कि इस समीकरण का दूसरा पहचान मैट्रिक्स शून्य के बराबर नहीं है, बल्कि 1 के बराबर है।

सी + 2 एफ = 1
0 + 2f = 1
2f = 1
च = ½

दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में जाने पर हमें का मान मिलेगा जी:

ए + 3 डी + जी = 0
1 + 3. (-1/2) + जी = 0
1 - 3/2 + जी = 0
जी = -1 + 3/2
जी = ½

दूसरी पंक्ति और दूसरे कॉलम में, हम का मान ज्ञात कर सकते हैं एच:

बी + 3e + एच = 1
0 + 3. 0 + एच = 1
एच = 1

अंत में, आइए का मान ज्ञात करें मैं दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ के समीकरण द्वारा:

सी + 3 एफ + आई = 0
0 + 3 (1/2) + मैं = 0
3/2 + मैं = 0
मैं = 3/2

सभी अज्ञात मानों की खोज के बाद, हम उन सभी तत्वों को खोज सकते हैं जो A का व्युत्क्रम मैट्रिक्स बनाते हैं:

फीडबैक के साथ प्रवेश परीक्षा अभ्यास

1. (सीफेट-एमजी) मैट्रिक्स verse का उलटा है
यह सही कहा जा सकता है कि अंतर (x-y) के बराबर है:

ए) -8
बी) -2
ग) 2
घ) 6
ई) 8

उत्तर देखो

वैकल्पिक ई: 8

2. (यूएफ विकोसा-एमजी) मैट्रिक्स को होने दें:

जहाँ x और y वास्तविक संख्याएँ हैं और M, A का प्रतिलोम आव्यूह है। तो xy उत्पाद है:

ए) 3/2
बी) 2/3
ग) 1/2
घ) 3/4
ई) 1/4

उत्तर देखो

के लिए वैकल्पिक: 3/2

3. (पीयूसी-एमजी) मैट्रिक्स का उलटा मैट्रिक्स यह वैसा ही है जैसे:

द)
बी)
सी)
घ)
तथा)

उत्तर देखो

वैकल्पिक बी:

यह भी पढ़ें:

• मैट्रिसेस - व्यायाम
• मैट्रिक्स और निर्धारक
• मैट्रिक्स के प्रकार
• ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स
• मैट्रिक्स गुणन