समानांतर रेखाएं: परिभाषा, एक अनुप्रस्थ और अभ्यास द्वारा काटी गई

दो अलग-अलग रेखाएँ समानांतर होती हैं जब उनका ढलान समान होता है, अर्थात उनका ढलान समान होता है। इसके अलावा, उनके बीच की दूरी हमेशा समान होती है और उनके पास कोई सामान्य बिंदु नहीं होता है।

समांतर, समवर्ती और लंबवत रेखाएं

समानांतर रेखाएं प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। नीचे दिए गए चित्र में हम समांतर रेखाओं r और s को निरूपित करते हैं।

समानांतर रेखाएं (आर // एस)

समानांतर रेखाओं के विपरीत, प्रतिस्पर्धी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

प्रतिस्पर्धी लाइनें

यदि दो रेखाएँ एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और उनके बीच प्रतिच्छेदन पर बनने वाला कोण 90 के बराबर है, तो रेखाएँ लंबवत कहलाती हैं।

लम्बवत रेखायें

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एक अनुप्रस्थ द्वारा काटी गई समानांतर रेखाएं

एक रेखा दूसरी से अनुप्रस्थ होती है यदि उनमें केवल एक बिंदु उभयनिष्ठ हो।

दो समानांतर रेखाएँ r और s, यदि उन्हें एक रेखा t से काट दिया जाए, तो दोनों को अनुप्रस्थ रेखाएँ बनेंगी कोणों जैसा कि नीचे इमेज में दिखाया गया है।

आकृति में, समान रंग वाले कोण सर्वांगसम होते हैं, अर्थात उनका माप समान होता है। अलग-अलग रंगों के दो कोण संपूरक होते हैं, अर्थात इनका योग 180 तक होता है।

उदाहरण के लिए, कोण तथा सी समान माप और कोणों का योग है एफ तथा जी 180º के बराबर है।

समांतर रेखाओं और तिर्यक रेखा के संबंध में कोणों के युग्मों को उनकी स्थिति के अनुसार नाम दिया गया है। इसलिए, कोण हो सकते हैं:

• संवाददाताओं
• वैकल्पिक
• संपार्श्विक

सभी तरीके से

दो कोण जो समान्तर सीधी रेखाओं पर एक ही स्थिति में होते हैं, संगत कहलाते हैं। उनके पास समान माप (सर्वांगसम कोण) हैं।

मैच के नीचे दिखाए गए समान रंग के कोण जोड़े।

आकृति में, संगत कोण हैं:

• तथा तथा
• ख तथा एफ
• सी तथा जी
• घ तथा एच

वैकल्पिक कोण

कोणों के युग्म जो अनुप्रस्थ सीधी की विपरीत भुजाओं पर होते हैं, प्रत्यावर्ती कहलाते हैं। ये कोण भी सर्वांगसम होते हैं।

वैकल्पिक कोण आंतरिक हो सकते हैं, जब वे समानांतर रेखाओं के बीच होते हैं, और बाहरी, जब वे समानांतर रेखाओं के बाहर होते हैं।

आकृति में, वैकल्पिक आंतरिक कोण हैं:

• सी तथा तथा
• घ तथा एफ

बाहरी वैकल्पिक कोण हैं:

• तथा जी
• ख तथा एच

पार्श्व कोण

ये कोणों के जोड़े हैं जो अनुप्रस्थ सीधे के एक ही तरफ होते हैं। संपार्श्विक कोण पूरक हैं (वे 180º तक जोड़ते हैं)। वे आंतरिक या बाहरी भी हो सकते हैं।

आकृति में, आंतरिक पक्ष कोण हैं:

• घ तथा तथा
• सी तथा एफ

बाहरी पक्ष कोण हैं:

• तथा एच
• ख तथा जी

थेल्स प्रमेय The

एक ही तल में समानांतर रेखाओं का एक बंडल निर्धारित करता है, दो अनुप्रस्थ रेखाओं में, सीधे खंड आनुपातिक।

उदाहरण

बिंदु A, A´, B, B´, C, C´ समांतर रेखाओं r, s और q को तिर्यक रेखा t और v के साथ पार करके प्राप्त किए गए थे।

के अनुसार थेल्स प्रमेयor, हमारे पास निम्नलिखित संबंध होंगे:

अभ्यास

1) समांतर रेखाओं और अनुप्रस्थ रेखा के बीच के कोणों को देखते हुए, आकृति में दर्शाए गए कोणों को निर्धारित करें:

उत्तर देखो

दिया गया कोण और कोण x बाह्य संपार्श्विक हैं, इसलिए कोणों का योग 180° के बराबर होता है। इस प्रकार कोण x की माप 60º है।

दिया गया कोण और y कोण बाह्य एकांतरक हैं, इसलिए वे सर्वांगसम हैं। अत: कोण y का माप 120° है।

2) नीचे दिए गए चित्र में, यह जानते हुए कि रेखाएँ r और s समानांतर हैं, इंगित कोण का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर देखो

कोण x माप 55º

3) नीचे दिए गए चित्र में x का मान ज्ञात कीजिए:

उत्तर देखो