नियमित बहुभुज: वे क्या हैं, गुण और उदाहरण

एक बहुभुज नियमित होता है जब वह उत्तल होता है और उसके सभी पक्ष और कोण समान माप के होते हैं। इसलिए, एक नियमित बहुभुज समबाहु होता है, क्योंकि सभी भुजाएँ समान लंबाई और समकोणिक होती हैं, क्योंकि सभी कोण समान माप होते हैं।

बहुभुज की परिभाषा गैर-संरेखित और गैर-प्रतिच्छेदन रेखा खंडों द्वारा बनाई गई एक बंद, सपाट आकृति है। ये खंड बहुभुज की भुजाएँ हैं, जो नियमित होने पर समान लंबाई के होते हैं।

दो भुजाओं का मिलन एक शीर्ष होता है, और भुजाओं के बीच के क्षेत्र को डिग्री में मापा जाने वाला एक आंतरिक कोण कहा जाता है। सम बहुभुजों में कोण सर्वांगसम होते हैं।

एक बहुभुज में भुजाओं, शीर्षों, आंतरिक कोणों (ai) और बाह्य कोणों (ae) की संख्या समान होती है।

नियमित बहुभुज उत्तल, समबाहु और समकोणिक होते हैं क्योंकि उनकी भुजाएँ और कोण सर्वांगसम होते हैं। तीन शर्तों को पूरा करना होगा।

एक बहुभुज उत्तल होता है जब प्रत्येक खंड अपने अंदर दो बिंदुओं को जोड़ता है, बिना बहुभुज के क्षेत्र के बाहर खंड के किसी भी हिस्से के बिना।

नियमित बहुभुजों का परिमाप

एक बहुभुज का परिमाप उसकी भुजाओं के मापों का योग होता है। एक नियमित बहुभुज की तरह, सभी पक्षों की लंबाई समान होती है, बस एक भुजा की लंबाई को बहुभुज की भुजाओं की संख्या से गुणा करें।

कहाँ पे,
पी परिधि है,
n पक्षों की संख्या है,
L भुजाओं की लंबाई है।

उदाहरण
एक नियमित षट्भुज का परिमाप 7 सेमी की भुजाओं वाला है:

आंतरिक कोण

एक आंतरिक कोण दो पक्षों के बीच का क्षेत्र है जो एक शीर्ष पर मिलते हैं। एक नियमित बहुभुज में, सभी आंतरिक कोण समान माप के होते हैं।

इसी तरह, यदि कोणों के योग का मान ज्ञात हो, तो कोण का माप कोणों की संख्या से विभाजित कुल योग होता है।

बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग

यदि एक आंतरिक कोण का माप ज्ञात है, तो आप इसके मान को कोणों की संख्या से गुणा करके आंतरिक कोणों का योग निर्धारित कर सकते हैं।

कहाँ पे:
बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग है;
एक आंतरिक कोण का माप है;
n आंतरिक कोणों की संख्या है।

किसी कोण की माप जाने बिना किसी बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

उदाहरण
6 भुजाओं वाले एक सम बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग और प्रत्येक कोण का माप है:

.

प्रत्येक कोण का माप है

.

एक नियमित बहुभुज का एपोथेम

एक नियमित बहुभुज का एपोथेम एक रेखा खंड है जो बहुभुज के केंद्र को एक तरफ के मध्य बिंदु से जोड़ता है, जिससे यह 90 डिग्री का कोण बन जाता है।

इस तरह, एपोथेम एक पक्ष को दो बराबर भागों में विभाजित करता है, एक द्विभाजक होने के कारण, क्योंकि यह पक्ष को बिल्कुल आधे में विभाजित करता है।

एक बहुभुज के एपोथेम की संख्या उसकी भुजाओं की संख्या के बराबर होती है। जैसा कि बहुभुज नियमित है, एपोथेम्स का माप समान होता है।

नियमित बहुभुजों का क्षेत्रफल

किसी भी नियमित बहुभुज के क्षेत्रफल की गणना करने का एक तरीका, इसकी भुजाओं की संख्या की परवाह किए बिना, इसके अर्धपरिमाप को इसके एपोथेम से गुणा करना है।

सेमीपरिमीटर आधा परिमाप है।

कहाँ पे,
पी सेमीपरिमीटर है (परिधि दो से विभाजित)
एपोथेम का माप है।

उदाहरण
एक नियमित षट्भुज जिसकी भुजा 4 सेमी और एपोथेम है सेमी का क्षेत्रफल है:

संकल्प
क्षेत्र की गणना एपोथेम और सेमीपरिमीटर के उत्पाद के रूप में की जा सकती है।

चूँकि एक षट्भुज की 6 भुजाएँ होती हैं, इसका परिमाप 6.4 = 24 सेमी और इसका अर्धपरिधि 24/2 = 12 सेमी होता है।

तो क्षेत्र है

इसके बारे में और देखें क्षेत्रफल और परिधि.

नियमित बहुभुज अभ्यास

अभ्यास 1

बहुभुजों को नियमित और गैर-नियमित के रूप में वर्गीकृत करें।

उत्तर देखो

ए: नियमित नहीं।
बी: नियमित नहीं।
सी: नियमित।
डी: नियमित।
ई: नियमित नहीं।
एफ: नियमित।

व्यायाम 2

एक नियमित 10-पक्षीय बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग और प्रत्येक कोण का माप ज्ञात कीजिए।

उत्तर देखो

कोणों का योग द्वारा निर्धारित किया जाता है:

चूंकि बहुभुज नियमित है, कोणों के माप को निर्धारित करने के लिए, कुल योग को 10 से विभाजित करें।

व्यायाम 3

बराबर भुजाओं वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए सेमी और एपोथेम 4 सेमी के बराबर है।

उत्तर देखो

त्रिभुज की परिधि है: .

इसका सेमीपरिमीटर है:

इसका क्षेत्रफल एपोथेम और सेमीपरिमीटर का गुणनफल है।

इस पर अधिक देखें:

• बहुभुज
• त्रिभुजों का वर्गीकरण
• क्षेत्रफल और परिधि
• कोणों
• बहुभुज क्षेत्र
• बहुभुज पर अभ्यास
• एक बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग
• षट्भुज
• चतुर्भुज
• समानांतर चतुर्भुज
• ट्रापेज़
• आयत
• त्रिभुजों का वर्गीकरण
• 8वीं कक्षा गणित अभ्यास
• छठी कक्षा गणित अभ्यास