यूलर का संबंध एक समानता है जो उत्तल पॉलीहेड्रा में कोने, किनारों और चेहरों की संख्या से संबंधित है। यह कहता है कि चेहरों की संख्या प्लस शीर्षों की संख्या किनारों की संख्या प्लस दो के बराबर है।
यूलर संबंध द्वारा दिया गया है:
कहाँ,
एफ चेहरों की संख्या है,
वी शीर्षों की संख्या,
किनारों की संख्या।
हम यूलर के संबंध का उपयोग वी, एफ या ए के अज्ञात मूल्यों को निर्धारित करने या पुष्टि करने के लिए कर सकते हैं, जब भी पॉलीहेड्रॉन उत्तल होता है।
| बहुतल | एफ | वी | एफ+वी | ए + 2 | |
|---|---|---|---|---|---|
| घनक्षेत्र | 6 | 8 | 12 | 6 + 8 = 14 | 12 + 2 = 14 |
| त्रिकोणीय पिरामिड | 4 | 4 | 6 | 4 + 4 = 8 | 6 + 2 = 8 |
| पंचकोणीय आधार प्रिज्म | 7 | 10 | 15 | 7 + 10 = 17 | 15 + 2 = 17 |
| नियमित अष्टफलक | 8 | 6 | 12 | 8 + 6 = 14 | 12 + 2 = 14 |
उदाहरण
एक उत्तल बहुफलक में 20 फलक और 12 शीर्ष होते हैं। किनारों की संख्या निर्धारित करें।
यूलर के संबंध का उपयोग करना और ए को अलग करना:
F और V के मानों को प्रतिस्थापित करना:
चेहरे, कोने और किनारे
पॉलीहेड्रा गोल पक्षों के बिना ठोस, त्रि-आयामी ज्यामितीय आकार हैं। ये भुजाएँ बहुफलक के फलक (F) हैं।
चेहरों का मिलन, हम किनारों (ए) कहते हैं।
शीर्ष वे बिंदु हैं जहां तीन या अधिक किनारे मिलते हैं।
उत्तल पॉलीहेड्रा
उत्तल पॉलीहेड्रा ज्यामितीय ठोस होते हैं जो अवतलता नहीं पेश करते हैं, इसलिए, उनके किसी भी चेहरे पर 180º से अधिक आंतरिक कोण नहीं होते हैं।
इस पॉलीहेड्रॉन में, नीले रंग में चिह्नित आंतरिक कोण 180º से अधिक है, इसलिए यह उत्तल पॉलीहेड्रॉन नहीं है।
इसके बारे में और देखें बहुकोणीय आकृति.
यूलर के संबंध पर अभ्यास
अभ्यास 1
एक बहुफलक में 9 किनारों और 6 शीर्षों वाले फलकों की संख्या ज्ञात कीजिए।
सही उत्तर: 5 चेहरे।
यूलर के संबंध का उपयोग करना:
एफ + वी = ए + 2
एफ = ए + 2 - वी
एफ = 9 + 2 - 6
एफ = 11 - 6
एफ = 5
व्यायाम 2
एक डोडेकाहेड्रोन एक प्लेटोनिक ठोस है जिसमें 12 फलक होते हैं। यह जानते हुए कि इसके 20 शीर्ष हैं, इसके किनारों की संख्या ज्ञात कीजिए।
सही उत्तर:
यूलर के संबंध का उपयोग करना:
एफ + वी = ए + 2
एफ + वी - 2 = ए
12 + 20 - 2 = ए
32 - 2 = ए
30 = ए
व्यायाम 3
4 शीर्षों और 6 किनारों वाले बहुफलक का उसके फलकों की संख्या के संबंध में क्या नाम है, जहां फलक त्रिभुज हैं?
उत्तर: टेट्राहेड्रोन।
हमें इसके चेहरों की संख्या निर्धारित करने की आवश्यकता है।
एफ + वी = ए + 2
एफ = ए + 2 - वी
एफ = 6 + 2 - 4
एफ = 8 - 4
एफ = 4
एक बहुफलक जिसमें त्रिभुज के रूप में 4 फलक होते हैं, चतुष्फलक कहलाता है।
लियोनहार्ड पॉल यूलर कौन थे?
लियोनहार्ड पॉल यूलर (1707-1783) इतिहास के सबसे कुशल गणितज्ञों और भौतिकविदों में से एक थे, साथ ही उन्होंने खगोल विज्ञान के अध्ययन में योगदान दिया। जर्मन भाषी स्विस, वह सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज और बाद में बर्लिन अकादमी में भौतिकी के प्रोफेसर थे। उन्होंने गणित पर कई अध्ययन प्रकाशित किए हैं।
यह भी जानें:
- ज्यामितीय ठोस
- स्थानिक ज्यामिति
- ज्यामितीय आकार
- प्रिज्म - ज्यामितीय आकृति
- पिरामिड
- रास्ते का पत्थर
- घनक्षेत्र
