त्रिभुज तीन कोणों, भुजाओं और शीर्षों वाला एक बहुभुज है, जो एक ही तल के होते हैं। यह बहुभुज, हमेशा उत्तल, तीन असंरेखीय रेखाखंडों का जंक्शन है, जो जोड़े में, तीन कोण बनाते हैं और इसके आंतरिक क्षेत्र को परिसीमित करते हैं।
यह आंकड़ा व्यापक रूप से विभिन्न अनुप्रयोगों के साथ प्रयोग किया जाता है। इंजीनियरिंग में, चूंकि यह एक कठोर तत्व है, जो विकृत नहीं होता है, यह संरचनाओं को स्थिरता प्रदान करता है।
इन सबके बीच, यह एकमात्र बहुभुज है जिसमें एक विकर्ण नहीं है, इसके अलावा खुद को कई स्वरूपों में प्रस्तुत करता है। उन्हें भुजाओं की लंबाई की विशेषताओं और उनके कोणों के माप के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है।
त्रिभुजों के प्रकार
त्रिभुजों को भुजाओं और कोणों द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है, प्रत्येक के लिए तीन मुख्य प्रकार हैं।
अधिक कोण, आयत और न्यून कोण
कोणों के संबंध में, त्रिभुजों को 90º के कोण के पैरामीटर के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।
अधिक कोण
एक अधिक त्रिभुज का एक अधिक कोण होता है, जो कि 90° से अधिक होता है। यह अन्य दो को 90º से छोटा बनाता है।
आयत
एक समकोण त्रिभुज वह होता है, जैसा कि इसके नाम से पता चलता है, जिसमें 90 डिग्री का समकोण होता है।
तीव्र
न्यूनकोण त्रिभुज वह होता है जिसके तीन कोण 90° से कम होते हैं।
कोणों के संबंध में त्रिभुजों के प्रकारों के अलावा, भुजाओं की लंबाई भी उन्हें तीन श्रेणियों में वर्गीकृत करती है।
समबाहु, समद्विबाहु और स्केलीन
भुजाओं के संबंध में, त्रिभुजों को वर्गीकृत करने के मानदंड उनकी लंबाई हैं, जैसे: तीनों समान हैं, केवल दो समान हैं, या कोई भी समान नहीं है।
समभुज
समबाहु त्रिभुज में एक ही माप की तीन भुजाएँ होती हैं, जिससे इसके तीन आंतरिक कोण भी बराबर होते हैं, 60º के साथ।
समद्विबाहु
समद्विबाहु त्रिभुज की दो भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं और इसके कारण आधार को इंगित करने वाले दो कोण भी बराबर होते हैं।
विषम भुज तथ कोण वाला
एक स्केलीन त्रिभुज में तीन भुजाएँ होती हैं जिनकी माप अलग-अलग होती है और इसके परिणामस्वरूप, विभिन्न मापों वाले तीन कोण होते हैं।
के बारे में अधिक जानने त्रिभुजों का वर्गीकरण.
त्रिभुज क्षेत्र
त्रिभुज की तीनों भुजाओं से घिरे हुए क्षेत्रफल, भीतरी क्षेत्र की माप की गणना कुछ तरीकों से की जा सकती है। उपलब्ध जानकारी के आधार पर प्रत्येक अपने गणना लाभ प्रदान करता है।
व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाने वाला तरीका वह है जो आधार और ऊंचाई के माप पर निर्भर करता है।
कहाँ पे,
क्षेत्र है,
बी आधार का माप है,
एच ऊंचाई माप है।
त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए बगुला का सूत्र
त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना बगुला के सूत्र से करना भी संभव है, जो तीन भुजाओं के माप का उपयोग करता है और ऊंचाई पर निर्भर नहीं करता है।
कहाँ पे,
पी सेमीपरिमीटर है, जो कि आधा परिमाप है, जिसकी गणना इस प्रकार की जाती है:
कहाँ पे , बी तथा सी पक्षों के माप हैं।
इसके बारे में और देखें त्रिभुज क्षेत्र.
त्रिभुज का परिमाप
परिमाप किसी भी बहुभुज की भुजाओं के मापों का योग होता है। चूँकि त्रिभुज की तीन भुजाएँ होती हैं:
जहां ए, बी और सी पक्षों की लंबाई हैं।
के बारे में अधिक जानने त्रिभुज का परिमाप.
त्रिभुज के अस्तित्व की स्थिति
एक त्रिभुज के अस्तित्व के लिए, इसकी भुजाओं को शीर्षों पर मिलना चाहिए। हालांकि, सेगमेंट की हर तिकड़ी इस शर्त को पूरा नहीं करती है।
एक त्रिभुज बनने के लिए, प्रत्येक भुजा का माप अन्य दो के योग से कम होना चाहिए।
इस त्रिभुज के निर्माण के लिए, भुजाओं a, b और c वाले किसी भी त्रिभुज को ध्यान में रखते हुए, उसे संतुष्ट होना चाहिए:
ऊंचाई, द्विभाजक, माध्यिका और द्विभाजक
त्रिभुजों के अध्ययन में ये चार ज्यामितीय तत्व अत्यंत महत्वपूर्ण हैं। वे त्रिभुजों को विशेषताएँ और गुण देते हैं। चूंकि वे सभी पक्षों और कोणों को संदर्भित करते हैं, प्रत्येक त्रिभुज में निम्नलिखित में से तीन तत्व होंगे:
कद
ऊँचाई एक रेखा खंड है जो एक शीर्ष को विपरीत दिशा से जोड़ता है, एक 90º कोण बनाता है जिस तरफ से वह प्रतिच्छेद करता है, या उसका विस्तार होता है।
त्रिभुज की ऊंचाई अंदर या बाहर हो सकती है। चूँकि तीन भुजाएँ हैं, इसलिए तीन ऊँचाईयाँ होंगी, प्रत्येक भुजा के सापेक्ष एक।
बीच-बचाव करनेवाली
द्विभाजक वह रेखा है जो त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिंदु को काटती है, जिससे 90º का कोण बनता है।
भुजा AB के संबंध में समद्विभाजक इसे इसके मध्य बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है, अर्थात बीच में, इस भुजा से 90º का कोण बनाता है।
से अधिक देखें द्विभाजक.
मंझला
माध्यिका एक खंड है जो एक शीर्ष को विपरीत दिशा के मध्य बिंदु से जोड़ता है।
यद्यपि माध्यिका कोण के सम्मुख भुजा को भी दो बराबर भागों में विभाजित करती है, द्विभाजक के विपरीत, यह भुजा को 90° का कोण नहीं बनाती है।
द्विभाजक
द्विभाजक एक किरण है जो एक कोण को आधा में विभाजित करती है।
चूँकि समद्विभाजक एक कोण को दो बराबर कोणों में विभाजित करता है, हमारे पास वह है .
त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदु
एक त्रिभुज में चार उल्लेखनीय बिंदु होते हैं, जो तीन ऊंचाई, द्विभाजक, द्विभाजक और माध्यिका के बीच के चौराहों से बनते हैं। ये बिंदु त्रिभुज के आंतरिक या बाहरी हो सकते हैं और इसे विशेषताएँ और गुण दे सकते हैं।
ऑर्थोसेंटर
ओर्थोसेंटर तीनों के बीच प्रतिच्छेदन का बिंदु है ऊंचाइयों.
ऑर्थोसेंटर आंतरिक, बाहरी या त्रिभुज से संबंधित हो सकता है। आंतरिक यदि त्रिभुज न्यून है, बाहरी यदि यह अधिक है और यदि त्रिभुज समकोण त्रिभुज है तो वह त्रिभुज से संबंधित है।
circumcenter
यह तीनों का मिलन बिंदु है समद्विभाजक.
परिकेन्द्र त्रिभुज से परिबद्ध वृत्त का केंद्र है।
केंद्र में
यह का मिलन स्थल है समद्विभाजक.
इनसेंटर त्रिभुज में खुदे हुए वृत्त का केंद्र है।
केन्द्रक
यह के बीच चौराहे का बिंदु है माध्यिकाओं.
केन्द्रक त्रिभुज का द्रव्यमान या गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है।
त्रिभुज के आंतरिक और बाह्य कोण
एक त्रिभुज में तीनों अंतः कोणों का योग 180° होता है।
कहाँ पे,त्रिभुज के आंतरिक कोण हैं।
बाहरी कोण
एक भुजा के विस्तार और आसन्न भुजा के बीच एक बाह्य कोण बनता है। प्रत्येक बाह्य कोण अभ्यंतर का संपूरक होता है, अर्थात इनका योग 180° तक होता है।
छवि में, एक बाहरी कोण है, जो आंतरिक कोण का पूरक है, अर्थात,
.
बाहरी कोण प्रमेय
बहिष्कोण प्रमेय कहता है कि एक बहिष्कोण का माप अन्य दो आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है।
आकृति में हाइलाइट किए गए कोण के संबंध में, हमारे पास है:
उत्कीर्ण और परिचालित त्रिभुज
एक त्रिभुज दर्ज कराई एक वृत्त इसका आंतरिक भाग है और इसके शीर्ष वृत्त की रेखा पर स्थित हैं।
शीर्ष A, B और C के बिंदु भी वृत्त के हैं।
पर समभुज त्रिकोण वृत्त में अंकित, भुजा की माप वृत्त की त्रिज्या से संबंधित है, जैसे:
जहाँ L भुजा की लंबाई है और R त्रिज्या है।
एक त्रिभुज घिरा एक वृत्त इसके बाहर है, और वृत्त त्रिभुज की भुजाओं पर स्पर्शरेखा है।
एक समभुज त्रिकोण एक वृत्त के परिमित उसकी त्रिज्या से संबंधित है:
जहाँ L भुजा की लंबाई है और R त्रिज्या है।
यह भी देखें:
- सही त्रिकोण
- समभुज त्रिकोण
- विषमबाहु त्रिकोण
- समद्विबाहु त्रिकोण
- त्रिभुजों की समानता
- त्रिभुजों की समानता - व्यायाम
- पाइथागोरस प्रमेय
- त्रिभुजों का वर्गीकरण
- समद्विबाहु त्रिकोण
- बीच-बचाव करनेवाली
- द्विभाजक
- बहुभुज पर अभ्यास
- त्रिभुज क्षेत्र
- समतल ज्यामिति
- चतुर्भुज
