त्रिभुजों पर अभ्यास समझाया गया

हमारे द्वारा तैयार की गई इस सूची से त्रिभुजों पर अभ्यास का अभ्यास करें। अभ्यासों को चरण दर चरण समझाया गया है ताकि आप अपने संदेह दूर कर सकें और इस तीन-तरफा बहुभुज के बारे में सब कुछ सीख सकें।

प्रश्न 1

त्रिभुजों द्वारा निर्मित निम्नलिखित आकृति का विश्लेषण करें और AB के समानांतर खंड ED की माप निर्धारित करें, यह जानते हुए:

सीडी = 15
एडी = 1
एबी = 8

उत्तर देखो

चूँकि DE, AB के समानांतर है, त्रिभुज CDE और CAB समरूप हैं। इस प्रकार हम उनकी संगत भुजाओं के बीच का अनुपात लिख सकते हैं

एसी = एडी + डीसी = 1 + 15 = 16.

प्रश्न 2

नीचे दी गई छवि में, कोण x का मान डिग्री में निर्धारित करें।

उत्तर देखो

उत्तर: 110 डिग्री

बाह्य कोण प्रमेय के अनुसार, एक शीर्ष का बाहरी कोण दो अन्य के आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है।

x = 50 डिग्री + 60 डिग्री = 110 डिग्री

प्रश्न को हल करने का दूसरा तरीका तीन आंतरिक कोणों को जोड़ना और उन्हें 180º के बराबर बनाना है। इस प्रकार पूरक आंतरिक कोण को x y कहने पर इसका मान होता है

:

50 + 60 + y = 180
110 + वाई = 180
y = 180 - 110
y = 70º

यदि y 70 डिग्री के बराबर है, तो x 180 तक पहुंचने में लगने वाली दूरी है।

x = 180 डिग्री - 70 डिग्री = 110 डिग्री

प्रश्न 3

खंड x की लंबाई निर्धारित करें.

उत्तर देखो

उत्तर: 2.4 मी

यह आकृति दो समरूप त्रिभुजों से बनी है। दोनों के बीच उभयनिष्ठ शीर्ष के सम्मुख समकोण और समान कोण हैं। AA (कोण-कोण) समानता के मामले से, हम समानता की पुष्टि करते हैं।

उनकी संगत भुजाओं का अनुपात लेने पर, हमें प्राप्त होता है:

प्रश्न 4

नीचे दिया गया चित्र 8 सेमी के आधार और 1 सेमी की ऊंचाई के साथ एक आयत दिखाता है, जो एक त्रिकोण में अंकित है। आयत का आधार त्रिभुज के आधार के साथ संपाती है। ऊँचाई h का माप ज्ञात कीजिए।

उत्तर देखो

उत्तर: एच = 2 सेमी

हम दो समान त्रिभुज निर्धारित कर सकते हैं: एक का आधार 12 सेमी और ऊंचाई x सेमी है और दूसरे का आधार 8 सेमी (आयत का आधार) और ऊंचाई h है।

संगत भुजाओं को समानुपातित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

देखें कि x ऊँचाई h और आयत की ऊँचाई के बराबर है।

एक्स = एच + 1

प्रतिस्थापित करना:

प्रश्न 5

फर्नांडो एक बढ़ई है और त्रिकोणीय संरचनाएं बनाने के लिए विभिन्न लंबाई के लकड़ी के स्लैट्स को अलग कर रहा है।

स्लैट तिकड़ी के निम्नलिखित विकल्पों में से केवल एक ही त्रिभुज बनाने में सक्षम है

ए) 3 सेमी, 7 सेमी, 11 सेमी

बी) 6 सेमी, 4 सेमी, 12 सेमी

ग) 3 सेमी, 4 सेमी, 5 सेमी

घ) 7 सेमी, 9 सेमी, 18 सेमी

ई) 2 सेमी, 6 सेमी, 9 सेमी

उत्तर सत्यापित करें

उत्तर समझाया

त्रिभुज के अस्तित्व की शर्त कहती है कि इसकी प्रत्येक भुजा अन्य दो के योग से कम होनी चाहिए।

इस शर्त को पूरा करने वाला एकमात्र विकल्प अक्षर c है।

प्रश्न 6

नीचे दिए गए त्रिभुज में, रेखाएँ और खंड: हरा, लाल, नीला और काला क्रमशः हैं:

उत्तर देखो

प्रतिक्रिया:

हरा: द्विभाजक. यह वह रेखा है जो किसी खंड को उसके मध्यबिंदु पर 90° के कोण पर काटती है।

लाल: मध्यम. यह वह खंड है जो एक शीर्ष से विपरीत दिशा के मध्यबिंदु तक चलता है।

नीला: द्विभाजक. एक कोण को दो सर्वांगसम कोणों में विभाजित करता है।

काला: ऊंचाई. यह वह खंड है जो एक शीर्ष को छोड़ता है और विपरीत दिशा में जाता है, जिससे 90º का कोण बनता है।

प्रश्न 7

(ENCCEJA 2012) आयताकार आकार की एक पैचवर्क रजाई, कपड़े के चार त्रिकोणीय टुकड़ों से बनाई गई है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

विचार करें कि इस रजाई के विकर्णों के किनारे बिल्कुल सीधे हैं।

रजाई का टुकड़ा ए, जिसका आकार त्रिभुज जैसा है, को क्रमशः इसके आंतरिक कोणों और भुजाओं के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है:

ए) तीव्र और समबाहु।

बी) कुंठित और स्केलीन।

ग) कुंठित और समद्विबाहु।

d) आयत और समद्विबाहु।

उत्तर सत्यापित करें

उत्तर समझाया

फ्लैप ए अधिक कुंठित है क्योंकि इसका अधिक कोण 90º से अधिक है।

चूँकि रजाई एक आयत है और त्रिभुजों का पृथक्करण दो विकर्णों द्वारा बनता है, आंतरिक भुजाएँ दो बटा दो बराबर होती हैं।

चूँकि फ्लैप की दो बराबर भुजाएँ हैं, यह समद्विबाहु है।

प्रश्न 8

नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए त्रिभुज ABC में, AD, A और पर आंतरिक कोण का समद्विभाजक है . A पर आंतरिक कोण बराबर है

ए) 60º

बी) 70º

ग) 80º

घ) 90º

उत्तर सत्यापित करें

उत्तर समझाया

खंड AD एक समद्विभाजक है और कोण A को दो समान कोणों में विभाजित करता है। चूँकि त्रिभुज ADB की दो बराबर भुजाएँ हैं, AD और BD, यह समद्विबाहु है, और आधार कोण बराबर हैं।

इस प्रकार, हमारे पास 60º कोण और तीन अन्य बराबर हैं।

x को अज्ञात कोण कहने पर, हमारे पास है:

60 + एक्स + एक्स + एक्स = 180

60 + 3x = 180

3x = 180 - 60

3x = 120

एक्स = 120/3

एक्स = 40

यदि x = 40 और A पर कोण 2x से बनता है, तो:

ए = 2x

ए = 2.40 = 80 डिग्री

प्रश्न 9

(एनीम 2011) एक नाव से समुद्र तट तक की दूरी निर्धारित करने के लिए, एक नाविक ने निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग किया: बिंदु ए से, उसने समुद्र तट पर एक निश्चित बिंदु पी पर लक्ष्य करके दृश्य कोण को मापा। नाव को उसी दिशा में रखते हुए, वह बिंदु B की ओर आगे बढ़ा ताकि समुद्र तट से उसी बिंदु P को देखना संभव हो सके, हालाँकि, एक दृश्य कोण 2α के तहत। यह चित्र इस स्थिति को दर्शाता है:

मान लीजिए कि नाविक ने कोण α = 30º मापा था और, बिंदु B पर पहुंचने पर, सत्यापित किया कि नाव ने AB = 2000 मीटर की दूरी तय की थी। इन आंकड़ों के आधार पर और समान प्रक्षेपवक्र बनाए रखते हुए, नाव से निश्चित बिंदु P तक की न्यूनतम दूरी होगी

ए) 1000 मी.

बी) 1 000√3 मी.

ग) 2 000√3/3 मी.

घ) 2000 मी.

ई) 2 000√3 मीटर

उत्तर सत्यापित करें

उत्तर समझाया

संकल्प

डेटा

= 30º

= 2000 मीटर

चरण 1: पूरक 2.

यदि कोण 30 डिग्री है, 2 = 60º और इसका पूरक, 180º के लिए जो कमी है, वह 120º है।

180 - 60 = 120

चरण 2: त्रिभुज के आंतरिक कोण निर्धारित करें एबीपी.

चूँकि एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° होता है, कोण 30º होना चाहिए, क्योंकि:

30 + 120 + पी = 180

पी = 180 - 120 - 30

पी = 30

इस प्रकार, त्रिभुज ABP समद्विबाहु है और भुजाओं AB और BP की लंबाई समान है।

चरण 3: नाव और बिंदु P के बीच न्यूनतम दूरी निर्धारित करें।

सबसे छोटी दूरी बिंदु P और बिंदीदार रेखा के बीच लंबवत खंड है, जो नाव के पथ का प्रतिनिधित्व करती है।

खंड BP समकोण त्रिभुज का कर्ण है।

60° की ज्या दूरी x और कर्ण BP से संबंधित है।

निष्कर्ष

नाव और समुद्र तट पर बिंदु P के बीच की न्यूनतम दूरी 1000 है एम।

प्रश्न 10

(यूईआरजे - 2018)

मैं इस सूरज की रोशनी को अपने चारों ओर इकट्ठा करता हूं,

अपने प्रिज्म में मैं बिखरता हूं और पुनः संयोजित होता हूं:

सात रंगों की अफ़वाह, सफ़ेद सन्नाटा.

जोस सारामागो

निम्नलिखित छवि में, त्रिभुज ABC एक सीधे प्रिज्म के आधार के समानांतर एक समतल खंड का प्रतिनिधित्व करता है। रेखाएँ n और n' क्रमशः AC और AB भुजाओं पर लंबवत हैं, और BÂC = 80° हैं।

n और n' के बीच कोण θ का माप है:

ए) 90º

बी) 100 डिग्री

ग) 110º

घ) 120º

उत्तर सत्यापित करें

उत्तर समझाया

80º के शीर्ष A और बड़े आधार के समानांतर प्रकाश की किरण से बने आधार वाले त्रिभुज में, हम आंतरिक कोण निर्धारित कर सकते हैं।

चूँकि प्रिज्म सीधा है और A पर शीर्ष वाले त्रिभुज का प्रकाश आधार बड़े आधार के समानांतर है, ये कोण बराबर हैं। चूँकि एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° के बराबर होता है, हमारे पास है:

80 + एक्स + एक्स = 180

2x = 180 - 80

2x = 100

एक्स = 100/2

एक्स = 50

बिंदीदार रेखाओं से बने 90º कोण को जोड़ने पर, हमें 140º प्राप्त होता है।

इस प्रकार, नीचे की ओर मुख वाले छोटे त्रिभुज के आंतरिक कोण हैं:

180–140 = 40

आंतरिक कोणों के योग का फिर से उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

40 + 40 + = 180

= 180 - 80

= 100º

त्रिभुजों पर अपना अध्ययन जारी रखें:

• त्रिभुज: इस बहुभुज के बारे में सब कुछ
• त्रिभुजों का वर्गीकरण
• त्रिभुज क्षेत्र: गणना कैसे करें?
• समकोण त्रिभुज में त्रिकोणमिति

कैसे उद्धृत करें?

एएसटीएच, राफेल. त्रिभुजों पर अभ्यास समझाया गया।सब मायने रखता है, [रा।]. में उपलब्ध: https://www.todamateria.com.br/exercicios-sobre-triangulos-explicados/. यहां पहुंचें:

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• त्रिभुजों का वर्गीकरण
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• स्पष्ट उत्तरों के साथ चतुर्भुजों पर अभ्यास
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• त्रिभुज के उल्लेखनीय बिंदु: वे क्या हैं और उन्हें कैसे खोजें
• त्रिभुज के अस्तित्व की शर्त (उदाहरण सहित)