प्रतिस्पर्धी रेखाएँ: यह क्या है, उदाहरण और अभ्यास

दो अलग-अलग रेखाएँ जो एक ही तल में होती हैं, समवर्ती होती हैं जब उनका एक ही बिंदु उभयनिष्ठ होता है।

समवर्ती रेखाएं एक दूसरे से 4 कोण बनाती हैं और इन कोणों की माप के अनुसार वे लंबवत या तिरछी हो सकती हैं।

जब उनके द्वारा बनाए गए 4 कोण 90º के बराबर होते हैं, तो उन्हें लंबवत कहा जाता है।

रेखा के नीचे के चित्र में आर तथा रों लंबवत हैं।

लम्बवत रेखायें

यदि गठित कोण 90º से भिन्न होते हैं, तो उन्हें तिरछा प्रतियोगी कहा जाता है। नीचे दिए गए चित्र में हम रेखाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं तुम तथा वी तिरछा

तिरछी रेखाएं

प्रतिस्पर्धा, संयोग और समानांतर रेखाएं

एक ही तल से संबंधित दो रेखाएँ समवर्ती, संपाती या समानांतर हो सकती हैं।

जबकि समवर्ती रेखाओं में प्रतिच्छेदन का एक बिंदु होता है, संयोग रेखाओं में कम से कम दो बिंदु समान होते हैं और समानांतर रेखाएं उनके पास कोई सामान्य बिंदु नहीं है।

दो सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति

दो रेखाओं के समीकरणों को जानकर हम उनकी सापेक्ष स्थिति को सत्यापित कर सकते हैं। इसके लिए हमें दो रेखाओं के समीकरणों से बने निकाय को हल करना होगा। तो हमारे पास:

• समवर्ती रेखाएँ: प्रणाली संभव और निर्धारित है (एक समान बिंदु)।
• संयोग रेखाएं: प्रणाली संभव और निर्धारित है (अनंत बिंदु आम में)।
• समानांतर रेखाएं: प्रणाली असंभव है (कोई सामान्य बिंदु नहीं)।

उदाहरण:

रेखा r: x - 2y - 5 = 0 और रेखा s: 2x - 4y - 2 = 0 के बीच सापेक्ष स्थिति निर्धारित करें।

समाधान:

दी गई रेखाओं के बीच आपेक्षिक स्थिति ज्ञात करने के लिए, हमें उनकी रेखाओं से बने समीकरणों के निकाय का परिकलन करना होगा, इसलिए हमारे पास:

योग द्वारा निकाय को हल करने पर हमें निम्न समीकरण 0y = - 8 प्राप्त होता है, क्योंकि इस समीकरण का कोई हल नहीं है, यह असंभव है। इस प्रकार दोनों रेखाएँ समानान्तर होती हैं।

वर्टेक्स द्वारा विपरीत कोण

दो प्रतिस्पर्धी रेखाएँ के दो जोड़े बनाती हैं कोणों. इन कोणों में एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है जिसे शीर्ष कहते हैं।

शीर्ष के विपरीत कोणों के युग्म सर्वांगसम होते हैं, अर्थात् उनका माप समान होता है।

नीचे दिए गए चित्र में, हम कोणों AÔB और CÔD का प्रतिनिधित्व करते हैं जो शीर्ष के विपरीत हैं, साथ ही कोण AÔC और BÔD भी हैं।

दो समवर्ती सीधी रेखाओं के बीच का प्रतिच्छेदन बिंदु

दो समवर्ती रेखाओं के बीच का प्रतिच्छेदन बिंदु दो रेखाओं के समीकरणों के अंतर्गत आता है। इस तरह, हम इन रेखाओं के समीकरणों द्वारा गठित प्रणाली को हल करते हुए, इस बिंदु के निर्देशांक को समान रूप से पा सकते हैं।

उदाहरण:

रेखाओं के उभयनिष्ठ बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए आर तथा एस, जिनके समीकरण क्रमशः x + 3y + 4 = 0 और 2x - 5y - 2 = 0 हैं।

समाधान:

बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए, हमें दिए गए समीकरणों के साथ सिस्टम को हल करना होगा। तो हमारे पास:

सिस्टम को हल करना, हमारे पास है:

इस मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं:

इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक हैं , अर्थात .

पढ़कर और जानें:

• लम्बवत रेखायें
• सीधे
• चोटीदार

हल किए गए व्यायाम

1) एक ओर्थोगोनल अक्ष प्रणाली में, - 2x + y + 5 = 0 और 2x + 5y - 11 = 0 क्रमशः रेखाओं r और s के समीकरण हैं। r और s के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर देखो

पी (3, 1)

2) त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक क्या हैं, यह जानते हुए कि इसकी भुजाओं की समर्थन रेखाओं के समीकरण हैं - x + 4y - 3 = 0, - 2x + y + 8 = 0 और 3x + 2y - 5 = 0 ?

उत्तर देखो

ए (3, - 2)
बी (1, 1)
सी (5, 2)

3) रेखाओं r: 3x - y -10 = 0 और 2x + 5y - 1 = 0 की सापेक्ष स्थिति निर्धारित करें।

उत्तर देखो

प्रतिच्छेदन बिंदु (3, -1) होने के कारण सीधी रेखाएं समवर्ती होती हैं।