ज्यामितीय परिवर्तन: अनुवाद, घूर्णन और प्रतिबिंब

ज्यामितीय परिवर्तन छवियों पर किए गए परिवर्तन हैं, जैसे: ट्रांसपोर्ट, मिरर, रोटेट, ज़ूम इन या आउट। इन्हें किसी भी आकृति में बनाया जा सकता है, चाहे सरल ज्यामितीय आकार हों या जटिल चित्र।

ये परिवर्तन हमें मूल आकृतियों से नई आकृतियाँ बनाने या उनकी स्थिति बदलने की अनुमति देते हैं। इन परिवर्तनों को करने के लिए हमें एक संदर्भ प्रणाली और एक मानक माप इकाई का उपयोग करने की आवश्यकता है, जैसा कि कार्टेशियन विमान में होता है।

कार्तीय तल एक तल पर एक समन्वय प्रणाली है, जहां प्रत्येक बिंदु का एक अद्वितीय पता होता है। यह दो क्रमांकित अक्षों, x और y से बना है। इस प्रकार, एक जोड़ी (x, y) इस बिंदु का सटीक स्थान बताती है।

आकृतियों को संरक्षित करके, यानी लंबाई और कोणों को बनाए रखते हुए, हम तीन ज्यामितीय परिवर्तन कर सकते हैं: अनुवाद, रोटेशन और प्रतिबिंब।

उदाहरण के लिए, किसी छवि को किसी नए स्थान पर ले जाते समय, हम अनुवाद कर रहे होंगे। यदि हम इसे एक बिंदु के चारों ओर घुमाते हैं, तो यह एक घूर्णन है। यदि हम किसी अक्ष के संबंध में आकृति को प्रतिबिंबित करते हैं, तो हम प्रतिबिंब कर रहे हैं।

अनुवाद

अनुवाद में किसी आकृति को समतल पर एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाना, उसके आकार, अभिविन्यास और आकार को बनाए रखना शामिल है।

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उदाहरण
नीचे दी गई छवि में दोनों त्रिभुज सर्वांगसम अर्थात बराबर हैं। हम कह सकते हैं कि त्रिभुज ABC दूसरे स्थान पर आ गया है, जिसे त्रिभुज A'B'C' द्वारा दर्शाया गया है।

ज्यामितीय अनुवाद परिवर्तन. — त्रिभुज ABC का अनुवाद या परिवहन किया गया था।

प्रतिबिंब

परावर्तन में एक सीधी रेखा के संबंध में एक छवि को प्रतिबिंबित करना शामिल है, जो क्षैतिज, ऊर्ध्वाधर या झुका हुआ हो सकता है। इस रेखा को परावर्तन अक्ष कहते हैं।

प्रतिबिंब में, मूल आकृति के प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक प्रतिबिंब अक्ष के संबंध में उलटे होते हैं।

उदाहरण
नीचे दिए गए x अक्ष के संबंध में प्रतिबिंब में, बिंदु A, B और C के निर्देशांक, A', B' और C' को इस प्रकार दिए गए हैं:

ए (-5, 3) ► ए' (-5, -3)

बी (-6, 1) ► बी' (-6, -1)

सी (-2, 2) ► सी' (-2, -2)

दूसरे शब्दों में, प्रत्येक बिंदु A, B और C, प्रतिबिंब के x-अक्ष से बिंदु A', B' और C' के समान दूरी पर हैं।

घूर्णन ज्यामितीय परिवर्तन. — x अक्ष के सापेक्ष त्रिभुज ABC का परावर्तन।

ROTATION

किसी छवि को घुमाने में उसे समतल में एक बिंदु के सापेक्ष घुमाना शामिल है, जिसे घूर्णन का केंद्र कहा जाता है। किसी आकृति का घूर्णन करने के लिए, हमें घूर्णन के अभिविन्यास (दक्षिणावर्त या वामावर्त) और घूर्णन के कोण की डिग्री में माप पर विचार करना चाहिए।

उदाहरण
त्रिभुज ABC को 45° के घूर्णन कोण के माध्यम से वामावर्त घुमाया गया है। घूर्णन का केंद्र बिंदु A है, जो इसलिए स्थिर रहता है।

ज्यामितीय कमी और विस्तार परिवर्तन

कम या बड़ा करते समय, पहलू अनुपात को बनाए रखते हुए, छवि के आयामों को बढ़ाया या घटाया जाता है।

इन मामलों में, कोण समान रहते हैं, लेकिन लंबाई और चौड़ाई बढ़ती या घटती है। इसलिए, छवि का आकार बना रहता है, जबकि उसका क्षेत्र बदल जाता है।

उदाहरण

ज्यामितीय परिवर्तनों पर अभ्यास

अभ्यास 1

निम्नलिखित चतुर्भुज ABCD ने x और y दिशाओं में कौन से माप को स्थिति A'B'C'D' में अनुवादित किया है?

उत्तर देखो

प्रतिक्रिया देने के लिए, हम चतुर्भुज के किसी भी बिंदु को संदर्भ के रूप में लेते हैं, उदाहरण के लिए, बिंदु ए।

x दिशा में, यह -5 स्थानांतरित हो गया, और y दिशा में, 2।

व्यायाम 2

ऊर्ध्वाधर रेखा से पंचभुज का प्रतिबिंब बनाएं।

उत्तर देखो

ऊर्ध्वाधर रेखा के संबंध में पंचकोण को प्रतिबिंबित करने के लिए, हमें प्रत्येक बिंदु को उल्टा करना होगा। इसके लिए बाईं ओर का प्रत्येक बिंदु रेखा से समान दूरी पर होना चाहिए।

दाहिनी ओर बिंदु C 3 इकाई दूर है, इसलिए दाहिनी ओर भी यही होना चाहिए। अन्य बिंदुओं के लिए प्रक्रिया को दोहराते हुए, हमारे पास है:

व्यायाम 3

नीचे दिए गए समकोण त्रिभुज को बिंदु B पर घूर्णन केंद्र के साथ घुमाया गया है। घूर्णन की दिशा का उत्तर दें और घूर्णन के कोण को मापें।

उत्तर देखो

त्रिभुज ABC को बिंदु B से स्थिति A'B'C' के सापेक्ष दक्षिणावर्त घुमाया गया।

घूर्णन के कोण को निर्धारित करने के लिए, हमें पता चलता है कि खंड A'B' वर्ग को आधे में विभाजित करता है, अर्थात यह 90° के समकोण का समद्विभाजक है और इसे आधे में विभाजित करता है।

इस प्रकार त्रिभुज दक्षिणावर्त दिशा में 45° घूम गया।

यह भी देखें:

ज्यामिति
समतल ज्यामिति
ज्यामितीय आकार
बहुभुज

एएसटीएच, राफेल. ज्यामितीय परिवर्तन: अनुवाद, घूर्णन और प्रतिबिंब।सब मायने रखता है, [रा।]. में उपलब्ध: https://www.todamateria.com.br/transformacoes-geometricas/. यहां पहुंचें:

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