पाप कानून: आवेदन, उदाहरण और अभ्यास

पापों का नियम यह निर्धारित करता है कि किसी भी त्रिभुज में, किसी कोण का ज्या संबंध हमेशा उस कोण की सम्मुख भुजा के माप के समानुपाती होता है।

यह प्रमेय प्रदर्शित करता है कि एक ही त्रिभुज में एक भुजा के मान और उसके सम्मुख कोण की ज्या के बीच का अनुपात हमेशा होगा लगातार.

इस प्रकार, a, b, c भुजाओं वाले त्रिभुज ABC के लिए, पापों का नियम निम्नलिखित संबंधों को स्वीकार करता है:

त्रिभुज में पापों के नियमों का प्रतिनिधित्व

उदाहरण

एक बेहतर समझ के लिए, आइए इस त्रिभुज की भुजाओं AB और BC के माप की गणना भुजा AC के माप b के फलन के रूप में करें।

ज्या के नियम से, हम निम्नलिखित संबंध स्थापित कर सकते हैं:

अत: AB = 0.816b और BC = 1.115b।

ध्यान दें: साइन के मूल्यों में परामर्श किया गया था त्रिकोणमितीय अनुपातों की तालिका. इसमें, हम प्रत्येक त्रिकोणमितीय फलन (साइन, कोसाइन और टेंगेंट) के 1º से 90 angles तक के कोणों के मान ज्ञात कर सकते हैं।

त्रिकोणमिति गणना में 30º, 45º और 60º के कोणों का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। इसलिए, उन्हें उल्लेखनीय कोण कहा जाता है। नीचे दिए गए मानों वाली तालिका देखें:

त्रिकोणमितीय संबंध	30°	45°	60°
ज्या	1/2	√2/2	√3/2
कोज्या	√3/2	√2/2	1/2
स्पर्शरेखा	√3/3	1	√3

पापों की व्यवस्था का अनुप्रयोग

हम ज्या नियम का उपयोग न्यूनकोण त्रिभुजों में करते हैं, जहाँ आंतरिक कोण 90º (तीव्र) से कम होते हैं; या अधिक त्रिभुजों में, जिनका आंतरिक कोण 90º (अधिक) से अधिक होता है। इन मामलों में, आप भी उपयोग कर सकते हैं कोसाइन कानून.

पाप या कोसाइन के नियम का उपयोग करने का मुख्य उद्देश्य एक त्रिभुज की भुजाओं और उसके कोणों के माप की खोज करना है।

त्रिभुजों का उनके आंतरिक कोणों के अनुसार निरूपण

और आयत त्रिभुज में पापों का नियम?

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, पापों के नियम का उपयोग तीव्र और अधिक त्रिभुज दोनों में किया जाता है।

90º (सीधे) के आंतरिक कोण से बने समकोण त्रिभुजों में, हमने पाइथागोरस प्रमेय और इसके पक्षों के बीच संबंधों का उपयोग किया: विपरीत, आसन्न पक्ष और कर्ण।

समकोण त्रिभुज और उसकी भुजाओं का निरूपण

इस प्रमेय में निम्नलिखित कथन है: "उनके पैरों के वर्गों का योग उनके कर्ण के वर्ग से मेल खाता है". इसका सूत्र व्यक्त किया गया है:

एच² = सीए² + सह²

इस प्रकार, जब हमारे पास एक समकोण त्रिभुज होता है, तो ज्या विपरीत पैर की लंबाई और कर्ण की लंबाई के बीच का अनुपात होगा:

यह कर्ण पर विपरीत पढ़ता है।

कोसाइन आसन्न पैर की लंबाई और कर्ण की लंबाई के बीच के अनुपात से मेल खाती है, जिसे अभिव्यक्ति द्वारा दर्शाया गया है:

इसे कर्ण के निकट पढ़ा जाता है।

प्रवेश परीक्षा अभ्यास

1.(यूएफपीबी) एक निश्चित शहर का सिटी हॉल, उस शहर को पार करने वाली नदी के ऊपर, एक पुल जो सीधा होना चाहिए और नदी के विपरीत किनारे पर स्थित दो बिंदुओं, ए और बी को जोड़ना होगा। इन बिंदुओं के बीच की दूरी को मापने के लिए, एक सर्वेक्षक ने बिंदु A से 200 मीटर दूर एक तीसरा बिंदु, C और बिंदु A के समान नदी के किनारे पर स्थित है। एक थियोडोलाइट (क्षैतिज कोणों और ऊर्ध्वाधर कोणों को मापने के लिए एक सटीक उपकरण, अक्सर स्थलाकृतिक कार्य में उपयोग किया जाता है) का उपयोग करते हुए, सर्वेक्षक ने देखा कि कोण मापा, क्रमशः, 30º और 105º, जैसा कि निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है।

इस जानकारी के आधार पर, यह कहना सही है कि बिंदु A से बिंदु B तक की दूरी मीटर में है:

उत्तर देखो

उद्देश्य: AB का माप ज्ञात कीजिए।

विचार १ - AB का निर्धारण करने के लिए पापों का नियम

आकृति त्रिभुज ABC बनाती है, जहाँ भुजा AC की माप 200 मीटर है और हमारे पास दो निर्धारित कोण हैं।

कोण होने के नाते 200 मीटर की भुजा AC और भुजा AB के सम्मुख कोण C के सम्मुख, हम AB के माध्यम से AB ज्ञात कर सकते हैं पाप कानून.

पाप कानून यह निर्धारित करता है कि इन भुजाओं से संबंधित भुजाओं के मापों और विपरीत कोणों की ज्याओं के बीच का अनुपात एक ही त्रिभुज में बराबर है।

विचार २ - कोण निर्धारित करें

त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° होता है, इसलिए हम कोण B ज्ञात कर सकते हैं।

बी + 105° + 30° = 180°
बी = 180° - 105° - 30°
बी = 45°

value के मान को बदलना ज्या के नियम और गणना करने में।

ध्यान दें कि हर में एक वर्गमूल होता है। आइए इस मूल को युक्तिकरण करके लेते हैं, जो कि भिन्न के हर और अंश दोनों का मूल से ही गुणा है।

एसी मान को बदलकर, हमारे पास है:

इसलिए, बिंदु A और B के बीच की दूरी है .

2. (मैकेंज़ी - एसपी) तीन द्वीप ए, बी और सी 1:10000 के पैमाने के नक्शे पर दिखाई देते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। विकल्पों में से, जो द्वीपों ए और बी के बीच की दूरी का सबसे अच्छा अनुमान लगाता है वह है:

ए) 2.3 किमी
बी) 2.1 किमी
सी) 1.9 किमी
डी) 1.4 किमी
ई) 1.7 किमी

उत्तर देखो

सही उत्तर: ई) 1.7 किमी

उद्देश्य: खंड AB का माप निर्धारित करना।

विचार १: AB का माप ज्ञात करने के लिए ज्या नियम का प्रयोग कीजिए

पापों का नियम: त्रिभुज की भुजाओं की माप उनके सम्मुख कोणों की ज्याओं के समानुपाती होती है।

विचार 2: कोण ज्ञात कीजिए

त्रिभुज के अंत: कोणों का योग 180. के बराबर होता हैº.

30 + 105 + सी = 180
१३५ + सी = १८०
सी = 180 - 135
सी = 45

विचार ३: ज्या के नियम में C का मान लागू करें

आइडिया 4: वर्गमूल मान का अनुमान लगाएं और पैमाने का उपयोग करें

निर्माण

12. 1,4 = 16,8

पैमाना कहता है 1:10000, गुणा करना:

16,8. 10000 = 168 000 सेमी

विचार 5: सेमी से किमी. की ओर बढ़ना

168 000 सेमी / 100 000 = 1.68 किमी

निष्कर्ष: चूंकि गणना की गई दूरी 1.68 किमी है, निकटतम विकल्प ई अक्षर है।

नोट: सेमी से किमी तक जाने के लिए, हम 100 000 से विभाजित करते हैं, क्योंकि निम्न पैमाने पर, सेंटीमीटर से किमी तक, हम बाईं ओर 5 स्थान गिनते हैं।

किमी -5- एचएम -4- बांध -3- मीटर -2- डीएम -1- से। मी मिमी

3. (यूनिफ़ोर-सीई) यह ज्ञात है कि प्रत्येक त्रिभुज में प्रत्येक भुजा की माप भुजा के सम्मुख कोण की ज्या के समानुपाती होती है। इस जानकारी का उपयोग करते हुए, यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि नीचे दिखाए गए त्रिभुज की भुजा AB की माप है:

उत्तर देखो

कथन ज्या का नियम प्रदान करता है।

त्रिकोणमिति से, हमारे पास वह है: पाप १२० = पाप ६०।

सूत्र में मानों को बदलना:

हर में एक जड़ नहीं छोड़ने के लिए, हम युक्तिकरण का उपयोग करते हैं, हर और अंश को 3 के मूल से गुणा करते हैं।

इसलिए, AB की ओर का माप है .

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