असमानता एक गणितीय वाक्य है जिसका कम से कम एक अज्ञात मान (अज्ञात) है और एक असमानता का प्रतिनिधित्व करता है।
असमानताओं में हम प्रतीकों का उपयोग करते हैं:
- > से बड़ा
- ≥ से बड़ा या बराबर
- ≤ कम या बराबर
उदाहरण
क) 3x - 5 > 62
बी) 10 + 2x ≤ 20
पहली डिग्री असमानता
एक असमानता पहली डिग्री की होती है जब अज्ञात का सबसे बड़ा घातांक 1 के बराबर होता है। वे निम्नलिखित रूप ले सकते हैं:
- कुल्हाड़ी + बी> 0
- कुल्हाड़ी + बी
- कुल्हाड़ी + बी ≥ 0
- कुल्हाड़ी + बी ≤ 0
किया जा रहा है तथा ख वास्तविक संख्या और ≠ 0
पहली डिग्री असमानता का समाधान।
इस तरह की असमानता को हल करने के लिए, हम इसे वैसे ही कर सकते हैं जैसे हम समीकरणों में करते हैं।
हालांकि, जब अज्ञात नकारात्मक हो जाए तो हमें सावधान रहना चाहिए।
इस मामले में, हमें (-1) से गुणा करना चाहिए और असमानता के प्रतीक को उल्टा करना चाहिए।
उदाहरण
a) असमानता को हल करें 3x + 19
असमानता को हल करने के लिए हमें एक्स को अलग करना होगा, 19 और 3 को असमानता के दूसरी तरफ पास करना होगा।
यह याद रखना कि पक्ष बदलते समय हमें ऑपरेशन को बदलना होगा। इस प्रकार, जो 19 जोड़ रहा था, वह घटता जाएगा और जो 3 गुणा कर रहा था, वह विभाजित होते हुए गुजरेगा।
३xxx
b) असमानता को कैसे हल करें 15 - 7x 2x - 30?
जब असमानता के दोनों ओर बीजीय पद (x) हों, तो हमें उन्हें एक ही तरफ जोड़ना चाहिए।
ऐसा करने से जो अंक भुजा बदलते हैं उनका चिन्ह बदल जाता है।
15 - 7x 2x - 30
- 7x - 2x - 30 -15
- 9x - 45
अब, पूरी असमानता को (-1) से गुणा करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम सभी शर्तों के संकेत बदलते हैं:
9x 45 (ध्यान दें कि हम प्रतीक ≥ को ≤ में उल्टा करते हैं)
एक्स 45/9
एक्स 5
इसलिए, इस असमानता का समाधान है एक्स 5.
असमानता ग्राफ का उपयोग कर संकल्प
असमानता को हल करने का दूसरा तरीका यह है कि इसे कार्तीय तल पर रेखांकन किया जाए।
ग्राफ में, हम असमानता के संकेत का अध्ययन करते हैं कि के किन मूल्यों की पहचान करते हैं एक्स असमानता को एक सच्चे वाक्य में बदलें।
इस पद्धति का उपयोग करके असमानता को हल करने के लिए हमें चरणों का पालन करना चाहिए:
१) असमानता के सभी पदों को एक ही तरफ रखें।
2) असमानता के चिन्ह को समानता के चिन्ह से बदलें।
३) समीकरण को हल करें, अर्थात इसका मूल ज्ञात करें।
४). के मूल्यों की पहचान करते हुए, समीकरण के संकेत का अध्ययन करें एक्स जो असमानता के समाधान का प्रतिनिधित्व करते हैं।
उदाहरण
असमानता को हल करें 3x + 19
सबसे पहले, आइए असमानता के एक तरफ सभी पदों के साथ असमानता लिखें:
3x + 19 - 40 3x - 21
यह अभिव्यक्ति इंगित करती है कि असमानता का समाधान x के मान हैं जो असमानता को नकारात्मक बनाते हैं (
समीकरण 3x - 21 = 0. का मूल ज्ञात कीजिए
एक्स = 21/3
x = 7 (समीकरण का मूल)
कार्तीय तल में मानों को प्रतिस्थापित करते समय पाए जाने वाले बिंदुओं के युग्मों का प्रतिनिधित्व करते हैं एक्स समीकरण में। इस प्रकार के समीकरण का आलेख है a सीधे.
हमने पहचाना कि मान
दूसरी डिग्री असमानता
एक असमानता दूसरी डिग्री की होती है जब अज्ञात का सबसे बड़ा घातांक 2 के बराबर होता है। वे निम्नलिखित रूप ले सकते हैं:
- कुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी > 0
- कुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी
- कुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी 0
- कुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी 0
किया जा रहा है , ख तथा सी वास्तविक संख्या और ≠ 0
हम इस प्रकार की असमानता को साइन का अध्ययन करने के लिए दूसरी डिग्री समीकरण का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफ का उपयोग करके हल कर सकते हैं, जैसा कि हमने पहली डिग्री असमानता के लिए किया था।
याद रखें कि, इस मामले में, ग्राफिक होगा दृष्टांत.
उदाहरण
असमानता को हल करें x2 - 4x - 4
दूसरी डिग्री असमानता को हल करने के लिए, उन मूल्यों को खोजना आवश्यक है जिनकी अभिव्यक्ति चिह्न के बाईं ओर है
सबसे पहले, गुणांक की पहचान करें:
ए = 1
बी = - 1
सी = - 6
हम उपयोग करते हैं भास्कर सूत्र (Δ = बी2 - 4ac) और हम गुणांक के मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं:
Δ = (- 1)2 - 4. 1. (- 6)
Δ = 1 + 24
Δ = 25
भास्कर के सूत्र को जारी रखते हुए, हमने अपने गुणांकों के मूल्यों को फिर से बदल दिया:
एक्स = (1 ± √25) / 2
एक्स = (1 ± 5) / 2
एक्स1 = (1 + 5)/ 2
एक्स1 = 6 / 2
एक्स1 = 3
एक्स2 = (1 - 5) / 2
एक्स1 = - 4 / 2
एक्स1 = - 2
समीकरण के मूल -2 और 3 हैं। के रूप में 2 डिग्री समीकरण का सकारात्मक है, इसके ग्राफ में अवतलता का सामना करना पड़ेगा।
ग्राफ से, हम देखते हैं कि असमानता को संतुष्ट करने वाले मान हैं: - 2
हम निम्नलिखित संकेतन का उपयोग करके समाधान का संकेत दे सकते हैं:
यह भी पढ़ें:
- प्रथम डिग्री समीकरण
- दूसरी डिग्री समीकरण
- समीकरण प्रणाली
अभ्यास
1. (FUVEST 2008) चिकित्सकीय सिफारिश के अनुसार, एक व्यक्ति को थोड़े समय के लिए ऐसे आहार का पालन करना चाहिए जो दैनिक न्यूनतम 7 की गारंटी देता है। विटामिन ए के मिलीग्राम और विटामिन डी के 60 माइक्रोग्राम, विशेष रूप से एक विशेष दही और अनाज के मिश्रण पर खिलाते हैं, जिसमें समायोजित किया जाता है पैकेज।
प्रत्येक लीटर दही में 1 मिलीग्राम विटामिन ए और 20 माइक्रोग्राम विटामिन डी होता है। अनाज के प्रत्येक पैकेट में 3 मिलीग्राम विटामिन ए और 15 माइक्रोग्राम विटामिन डी मिलता है।
प्रतिदिन x लीटर दही और y पैकेट अनाज का सेवन करने से व्यक्ति आहार का पालन करना सुनिश्चित करेगा यदि:
ए) एक्स + 3y 7 और 20x + 15y ≥ 60
बी) एक्स + 3y 7 और 20x + 15y ≤ 60
ग) x + 20y 7 और 3x + 15y ≥ 60
डी) एक्स + 20y 7 और 3x + 15y ≤ 60
ई) एक्स + 15y 7 और 3x + 20y ≥ 60
इसके विकल्प: x + 3y 7 और 20x + 15y ≥ 60
2. (UFC 2002) एक शहर में दो टेलीफोन कंपनियां सेवा प्रदान करती हैं। कंपनी X R$35.00 और R$0.50 प्रति मिनट उपयोग की जाने वाली मासिक सदस्यता का शुल्क लेती है। कंपनी Y शुल्क, प्रति माह, R$26.00 की सदस्यता प्लस R$0.50 प्रति मिनट उपयोग किया जाता है। कंपनी X का प्लान कितने मिनट के उपयोग के बाद कंपनी Y के प्लान की तुलना में ग्राहकों के लिए अधिक फायदेमंद होगा?
26 + 0.65 मी > 35 + 0.5 मी
0.65 मीटर - 0.5 मीटर> 35 - 26
0.15 मीटर> 9 m
मी > 9/0.15
मी > 60
60 मिनट के बाद से कंपनी X का प्लान ज्यादा फायदेमंद होता है।
