मतगणना का मूल सिद्धांत

गणना का मूल सिद्धांत, जिसे गुणन सिद्धांत भी कहा जाता है, का उपयोग n चरणों वाली किसी घटना के लिए संभावनाओं की संख्या को खोजने के लिए किया जाता है। इसके लिए कदम क्रमिक और स्वतंत्र होने चाहिए।

यदि घटना के पहले चरण में x संभावनाएं हैं और दूसरे चरण में y संभावनाएं हैं, तो x हैं। और संभावनाएं।

इसलिए, मतगणना का मूल सिद्धांत है कुल संभावनाओं को निर्धारित करने के लिए दिए गए विकल्पों का गुणन.

यह अवधारणा संयोजक विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण है, गणित का एक क्षेत्र जो समस्याओं को हल करने के तरीकों को एक साथ लाता है जिसमें गिनती शामिल है और इसलिए यह संभावनाओं की जांच करने में बहुत उपयोगी है ताकि संभावना निर्धारित की जा सके घटना

उदाहरण 1

जोआओ एक होटल में रह रहा है और ऐतिहासिक शहर के केंद्र में जाने का इरादा रखता है। होटल से 3 मेट्रो लाइनें हैं जो आपको मॉल तक ले जाती हैं और 4 बसें जो मॉल से ऐतिहासिक केंद्र तक जाती हैं।

मॉल के माध्यम से जोआओ कितने तरीकों से होटल छोड़ कर ऐतिहासिक केंद्र तक पहुँच सकता है?

समाधान: ट्री डायग्राम या संभावनाओं का ट्री किसी समस्या की संरचना का विश्लेषण करने और संयोजनों की संख्या की कल्पना करने के लिए उपयोगी है।

ध्यान दें कि संयोजनों का सत्यापन कैसे किया गया था वृक्षारेख.

अगर होटल छोड़कर मॉल तक पहुंचने की 3 संभावनाएं हैं, और मॉल से ऐतिहासिक केंद्र तक हमारे पास 4 संभावनाएं हैं, तो संभावनाओं की कुल संख्या 12 है।

उदाहरण को हल करने का एक अन्य तरीका संभावनाओं का गुणन, यानी 3 x 4 = 12 बनाने का मूल सिद्धांत होगा।

उदाहरण 2

एक रेस्तरां के मेनू में 2 प्रकार के स्टार्टर, 3 प्रकार के मुख्य पाठ्यक्रम और 2 प्रकार के डेसर्ट होते हैं। एक स्टार्टर, एक मेन कोर्स और एक मिठाई के साथ भोजन के लिए कितने मेनू इकट्ठे किए जा सकते हैं?

समाधान: हम स्टार्टर (ई), मेन कोर्स (पी) और डेजर्ट (एस) के साथ मेनू के सेट अप को समझने के लिए संभावनाओं के पेड़ का उपयोग करेंगे।

गिनती के मूल सिद्धांत से, हमारे पास है: 2 x 3 x 2 = 12। इसलिए, एक स्टार्टर, एक मुख्य पाठ्यक्रम और एक मिठाई के साथ 12 मेनू बनाए जा सकते हैं।

हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1

एना यात्रा का आयोजन कर रही थी और उसने अपने सूटकेस में 3 पैंट, 4 ब्लाउज और 2 जूते पैक किए। एक जोड़ी पैंट, एक ब्लाउज और एक जूते के साथ एना कितने संयोजन बना सकती है?

ए) 12 संयोजन
बी) 32 संयोजन
सी) 24 संयोजन
घ) 16 संयोजन

उत्तर देखो

सही विकल्प: c) 24 संयोजन।

ध्यान दें कि प्रत्येक 4 ब्लाउज के लिए, एना के पास 3 पैंट विकल्प और 2 जूते विकल्प हैं।

तो 4 x 3 x 2 = 24 संभावनाएं।

इस प्रकार, एना सूटकेस के टुकड़ों के साथ 24 संयोजन बना सकती है। संभावनाओं के पेड़ के साथ परिणामों की जाँच करें।

प्रश्न 2

एक शिक्षक ने 5 प्रश्नों के साथ एक परीक्षण का विस्तार किया और छात्रों को प्रत्येक प्रश्न के लिए सही (टी) या गलत (एफ) चिह्नित करके इसका उत्तर देना था। परीक्षण के कितने अलग-अलग तरीकों से उत्तर दिए जा सकते हैं?

ए) 25
बी) 40
सी) 24
घ) 32

उत्तर देखो

सही विकल्प: d) 32 संभावित उत्तर।

पांच प्रश्नों के अनुक्रम में दो अलग-अलग उत्तर विकल्प हैं।

गिनती के मूल सिद्धांत का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

2.2.2.2.2 = 32 परीक्षण के संभावित उत्तर।

प्रश्न 3

0, 1, 2, 3, 4 और 5 का उपयोग करके कितने प्रकार से 3 अंकों की संख्या बनाई जा सकती है?

ए) 200
बी) 150
सी) 250
घ) 100

उत्तर देखो

सही विकल्प: डी) 100।

गठित संख्या में सौ, दस और एक के स्थान को भरने के लिए 3 अंक होने चाहिए।

पहली स्थिति में हम संख्या 0 नहीं रख सकते, क्योंकि यह 2 अंकों वाली संख्या के समान होगी। तो सौ के लिए हमारे पास 5 अंकों के विकल्प हैं (1, 2, 3, 4, 5)।

दूसरी स्थिति के लिए, हम उस संख्या को दोहरा नहीं सकते जो सौ के लिए उपयोग की गई थी, लेकिन हम शून्य का उपयोग कर सकते हैं, इसलिए दस में हमारे पास 5 अंकों के विकल्प भी हैं।

चूंकि हमें 6 अंक (0, 1, 2, 3, 4 और 5) दिए गए थे और दो जो पहले इस्तेमाल किए गए थे, उन्हें दोहराया नहीं जा सकता है, इसलिए इकाई के लिए हमारे पास 4 अंकों के विकल्प हैं।

तो 5 x 5 x 4 = 100। हमारे पास 0, 1, 2, 3, 4 और 5 का उपयोग करके 3-अंकीय संख्या लिखने के 100 तरीके हैं।

निम्नलिखित ग्रंथों के साथ अधिक ज्ञान प्राप्त करें:

• संयुक्त विश्लेषण
• परिवर्तन
• संभावना
• संयुक्त विश्लेषण अभ्यास
• संभाव्यता अभ्यास