दो बिंदुओं के बीच की दूरी उन्हें जोड़ने वाले रेखाखंड का माप है।
हम विश्लेषणात्मक ज्यामिति का उपयोग करके इस माप की गणना कर सकते हैं।
समतल पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी
तल में, एक बिंदु पूरी तरह से उसके साथ जुड़े एक आदेशित युग्म (x, y) को जानकर निर्धारित किया जाता है।
दो बिंदुओं के बीच की दूरी जानने के लिए, हम शुरू में उन्हें कार्तीय तल में निरूपित करेंगे, और फिर इस दूरी की गणना करेंगे।
उदाहरण:
1) बिंदु A (1.1) और बिंदु B (3.1) के बीच की दूरी क्या है?
डी (ए, बी) = 3 - 1 = 2
2) बिंदु A (4.1) और बिंदु B (1,3) के बीच की दूरी क्या है?
ध्यान दें कि बिंदु A और बिंदु B के बीच की दूरी पैर 2 और 3 वाले समकोण त्रिभुज के कर्ण के बराबर है।
तो, हम का उपयोग करेंगे पाइथागोरस प्रमेय दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए।
[डी (ए, बी)]2 = 32 + 22 = √13
समतल पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी का सूत्र
दूरी सूत्र ज्ञात करने के लिए, हम उदाहरण 2 में की गई गणना को सामान्यीकृत कर सकते हैं।
किन्हीं दो बिंदुओं के लिए, जैसे A(x1Y y1) और बी (एक्स2आप2), अपने पास:
अधिक जानने के लिए यह भी पढ़ें:
- समतल ज्यामिति
- कार्तीय योजना
- सीधे
अंतरिक्ष में दो बिंदुओं के बीच की दूरी
हम अंतरिक्ष में बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए त्रि-आयामी समन्वय प्रणाली का उपयोग करते हैं।
एक बिंदु अंतरिक्ष में पूरी तरह से निर्धारित होता है जब उसके साथ एक क्रमबद्ध ट्रिपल (x, y, z) जुड़ा होता है।
अंतरिक्ष में दो बिंदुओं के बीच की दूरी का पता लगाने के लिए, शुरू में हम उन्हें समन्वय प्रणाली में प्रस्तुत कर सकते हैं और वहां से गणना कर सकते हैं।
उदाहरण:
बिंदु A (3,1.0) और बिंदु B (1,2.0) के बीच की दूरी क्या है?
इस उदाहरण में, हम देखते हैं कि बिंदु A और B, xy तल से संबंधित हैं।
दूरी द्वारा दिया जाएगा:
[डी (ए, बी)]2 = 12 + 22 = √5
अंतरिक्ष में दो बिंदुओं के बीच की दूरी का सूत्र
अधिक जानने के लिए यह भी पढ़ें:
- स्थानिक ज्यामिति
- रेखा समीकरण
- गणित के सूत्र
हल किए गए व्यायाम
1) एक बिंदु A भुज अक्ष (x अक्ष) से संबंधित है और बिंदु B (3.2) और C (-3.4) से समान दूरी पर है। बिंदु A के निर्देशांक क्या हैं?
चूँकि बिंदु A भुज अक्ष से संबंधित है, तो इसका निर्देशांक (a, 0) है। अतः हमें a का मान ज्ञात करना होगा।
(0 - 3)2 + (से - 2)2 = (0 + 3)2 + (से -4)2
9 + से2 - 4ए +4 = 9 + ए2 - 8वीं + 16वीं
चौथा = 12
ए = 3
(3.0) बिंदु A के निर्देशांक हैं।
2) बिंदु A (3,a) से बिंदु B (0.2) की दूरी 3 के बराबर है। कोर्डिनेट मान की गणना करें a।
32 = (0 - 3)2 + (2 - ए)2
९ = ९ + ४ - ४ए +ए2
2 - चौथा +4 = 0
ए = 2
3) ईएनईएम - 2013
हाल के वर्षों में, टेलीविजन ने छवि गुणवत्ता, ध्वनि और दर्शकों के साथ अन्तरक्रियाशीलता के मामले में एक वास्तविक क्रांति की है। यह परिवर्तन एनालॉग सिग्नल को डिजिटल सिग्नल में बदलने के कारण होता है। हालांकि, कई शहरों में अभी भी यह नई तकनीक नहीं है। इन लाभों को तीन शहरों में लाने की कोशिश में, एक टेलीविजन स्टेशन एक नया ट्रांसमिशन टावर बनाने का इरादा रखता है, जो एंटेना ए, बी और सी को सिग्नल भेजता है, जो इन शहरों में पहले से मौजूद हैं। एंटेना के स्थान कार्तीय तल में दर्शाए गए हैं:
टावर तीन एंटेना से एक समान दूरी पर स्थित होना चाहिए। इस मीनार के निर्माण का उचित स्थान निर्देशांक बिंदु से मेल खाता है
ए) (65; 35)
बी) (53; 30)
ग) (45; 35)
घ) (५०; 20)
ई) (50; 30)
सही विकल्प ई: (50;30)
यह भी देखें: दो बिंदुओं के बीच की दूरी अभ्यास
4) ईएनईएम - 2011
एक समतल क्षेत्र में एक शहर के पड़ोस की योजना बनाई गई थी, समानांतर और लंबवत सड़कों के साथ, समान आकार के ब्लॉकों का परिसीमन। निम्नलिखित कार्तीय निर्देशांक तल में, यह पड़ोस दूसरे चतुर्थांश में स्थित है, और दूरी. में है
कुल्हाड़ियों को किलोमीटर में दिया जाता है।
समीकरण y = x + 4 की सीधी रेखा भूमिगत मेट्रो लाइन के मार्ग की योजना का प्रतिनिधित्व करती है जो शहर के पड़ोस और अन्य क्षेत्रों को पार करेगी।
बिंदु P = (-5.5) पर एक सार्वजनिक अस्पताल स्थित है। समुदाय ने योजना समिति से एक मेट्रो स्टेशन की योजना बनाने को कहा ताकि अस्पताल से इसकी दूरी, एक सीधी रेखा में मापी जाए, 5 किमी से अधिक न हो।
समुदाय के अनुरोध के जवाब में, समिति ने सही तर्क दिया कि यह स्वचालित रूप से संतुष्ट हो जाएगा, क्योंकि बिंदु पर एक स्टेशन का निर्माण पहले से ही अनुमानित था।
क) (-5.0)
बी) (-3.1)
ग) (-2.1)
घ) (0.4)
ई) (2.6)
सही विकल्प बी: (-3.1)।
यह भी देखें: विश्लेषणात्मक ज्यामिति पर अभ्यास
