पाइथागोरस प्रमेय: सूत्र और अभ्यास

हे पाइथागोरस प्रमेय समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को सूचीबद्ध करता है। यह ज्यामितीय आकृति 90° के आंतरिक कोण से बनी है, जिसे समकोण कहा जाता है।

इस प्रमेय का कथन है:

"आपके पैरों के वर्गों का योग आपके कर्ण के वर्ग से मेल खाता है."

पाइथागोरस प्रमेय सूत्र

पाइथागोरस प्रमेय के कथन के अनुसार, सूत्र को इस प्रकार दर्शाया गया है:

² = बी² + सी²

होना,

कर्ण
ख: केटो
सी: केटो

कर्ण एक समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है और समकोण के विपरीत भुजा है। अन्य दो पक्ष पैर हैं। इन दोनों भुजाओं से बने कोण का माप 90º (समकोण) के बराबर होता है।

हमने संदर्भ कोण के अनुसार पैरों की भी पहचान की। अर्थात् भुजा को आसन्न भुजा या विपरीत भुजा कहा जा सकता है।

जब पैर संदर्भ कोण के करीब होता है, तो इसे कहते हैं सटा हुआ, दूसरी ओर, यदि यह इस कोण के विपरीत है, तो इसे कहा जाता है सामने.

यहाँ एक समकोण त्रिभुज के मीट्रिक संबंधों के लिए पाइथागोरस प्रमेय के अनुप्रयोगों के तीन उदाहरण दिए गए हैं।

उदाहरण 1: कर्ण के माप की गणना करें

यदि एक समकोण त्रिभुज की टाँगों की माप 3 सेमी और 4 सेमी है, तो इस त्रिभुज का कर्ण क्या है?

सीधा एक वर्गाकार स्थान बराबर होता है अंतरिक्ष के बराबर होता है सीधे ख चुकता स्थान और सीधा c वर्ग सीधा एक वर्गाकार स्थान बराबर होता है स्थान 4 वर्ग स्थान और स्थान 3 वर्ग सीधा एक वर्गाकार स्थान 16 स्पेस के बराबर और स्पेस 9 सीधा एक चौकोर स्पेस 25 सीधे स्पेस के बराबर स्पेस के बराबर 25 का वर्गमूल सीधे स्पेस के बराबर अंतरिक्ष 5

अतः समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी हैं।

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उदाहरण 2: पैरों में से एक के माप की गणना करें

एक पैर का माप निर्धारित करें जो एक समकोण त्रिभुज का हिस्सा है, जिसका कर्ण 20 सेमी और दूसरे पैर का माप 16 सेमी है।

सीधा एक वर्गाकार स्थान अंतरिक्ष के बराबर सीधा b चुकता अधिक सीधा स्थान c चुकता स्थान दोहरा दायाँ तीर सीधा b चुकता स्थान अंतरिक्ष के बराबर सीधा एक वर्गाकार स्थान घटा स्थान सीधा c चुकता सीधा b चुकता स्थान बराबर स्थान 20 वर्गाकार स्थान घटा स्थान 16 चुकता सीधा b चुकता स्पेस के बराबर स्पेस 400 स्पेस माइनस स्पेस 256 स्ट्रेट बी स्क्वेर स्पेस 144 स्ट्रेट बी स्पेस के बराबर स्पेस के बराबर 144 स्ट्रेट बी स्पेस का स्क्वायर रूट स्पेस के बराबर 12

अतः समकोण त्रिभुज की भुजाओं की माप 12 सेमी, 16 सेमी और 20 सेमी है।

उदाहरण 3: जांचें कि क्या त्रिभुज एक आयत है

एक त्रिभुज की भुजाओं की माप 5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी है। आप कैसे जानेंगे कि यह एक समकोण त्रिभुज है?

यह साबित करने के लिए कि एक समकोण त्रिभुज सत्य है, इसकी भुजाओं के माप को पाइथागोरस प्रमेय का पालन करना चाहिए।

सीधा एक वर्गाकार स्थान बराबर सीधा स्थान b चुकता स्थान और सीधा स्थान c चुकता 13 चुकता स्थान बराबर होता है स्पेस 12 स्क्वायर स्पेस प्लस स्पेस 5 स्क्वायर 169 स्पेस बराबर स्पेस 144 स्पेस प्लस स्पेस 25 169 स्पेस बराबर space 169

चूंकि दिए गए उपाय पाइथागोरस के प्रमेय को संतुष्ट करते हैं, अर्थात कर्ण का वर्ग पैरों के वर्ग के योग के बराबर होता है, तो हम कह सकते हैं कि त्रिभुज एक आयत है।

यह भी पढ़ें: आयत त्रिभुज में मीट्रिक संबंध

पाइथागोरस त्रिभुज

जब a. की भुजाओं को मापता है सही त्रिकोण धनात्मक पूर्णांक हैं, त्रिभुज को पाइथागोरस त्रिभुज कहा जाता है।

इस मामले में, पैर और कर्ण को "पाइथागॉरियन सूट" या "पायथागॉरियन तिकड़ी" कहा जाता है। यह जाँचने के लिए कि क्या तीन संख्याएँ पाइथागोरस की तिकड़ी बनाती हैं, हम use²= बी² + सी².

सबसे प्रसिद्ध पाइथागोरस तिकड़ी को संख्याओं द्वारा दर्शाया जाता है: 3, 4, 5। कर्ण 5 के बराबर, बड़ा पैर 4 के बराबर और छोटा पैर 3 के बराबर है।

ध्यान दें कि त्रिभुज की प्रत्येक भुजा पर बने वर्गों का क्षेत्रफल ठीक उसी तरह संबंधित है जैसे पाइथागोरस की प्रमेय: लंबी भुजा पर वर्ग का क्षेत्रफल अन्य दो के क्षेत्रफलों के योग से मेल खाता है वर्ग।

दिलचस्प बात यह है कि इन संख्याओं के गुणक भी पाइथागोरस सूट बनाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम तीनों 3, 4 और 5 को 3 से गुणा करते हैं, तो हमें 9, 12 और 15 नंबर मिलते हैं जो पाइथागोरस सूट भी बनाते हैं।

सूट 3, 4 और 5 के अलावा, कई अन्य सूट भी हैं। एक उदाहरण के रूप में, हम उल्लेख कर सकते हैं:

5, 12 और 13
7, 24, 25
20, 21 और 29
12, 35 और 37

यह भी पढ़ें: आयत त्रिभुज में त्रिकोणमिति

पाइथागोरस कौन था?

इतिहास के अनुसार समोसे के पाइथागोरस (५७० ए. सी। - 495 ए. C.) एक यूनानी दार्शनिक और गणितज्ञ थे जिन्होंने दक्षिणी इटली में स्थित पाइथागोरस स्कूल की स्थापना की। इसे पाइथागोरस सोसायटी भी कहा जाता है, इसमें गणित, खगोल विज्ञान और संगीत के अध्ययन शामिल थे।

हालाँकि, समकोण त्रिभुज के मीट्रिक संबंध पहले से ही बेबीलोनियों द्वारा ज्ञात थे, जो पाइथागोरस से बहुत पहले रहते थे, माना जाता है कि यह प्रमेय किसी भी समकोण त्रिभुज पर लागू होने वाला पहला प्रमाण किसके द्वारा बनाया गया था पाइथागोरस।

पाइथागोरस प्रमेय गणित में सबसे प्रसिद्ध, सबसे महत्वपूर्ण और प्रयुक्त प्रमेयों में से एक है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति, समतल ज्यामिति, स्थानिक ज्यामिति और त्रिकोणमिति में समस्याओं को हल करने में यह आवश्यक है।

प्रमेय के अलावा, पाइथागोरस सोसायटी फॉर मैथमेटिक्स के अन्य महत्वपूर्ण योगदान थे:

अपरिमेय संख्याओं की खोज;
पूर्णांकों के गुण;
एमएमसी और एमडीसी।

यह भी पढ़ें: गणित के सूत्र

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण

पाइथागोरस के प्रमेय को सिद्ध करने के कई तरीके हैं। उदाहरण के लिए, पुस्तक पाइथागोरस का प्रस्ताव, 1927 में प्रकाशित, इसे प्रदर्शित करने के लिए 230 तरीके प्रस्तुत किए, और 1940 में जारी एक अन्य संस्करण, 370 प्रदर्शनों तक बढ़ गया।

नीचे दिया गया वीडियो देखें और पाइथागोरस प्रमेय के कुछ प्रदर्शन देखें।

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के कितने तरीके हैं? - बेट्टी फी

पाइथागोरस प्रमेय पर टिप्पणी किए गए अभ्यास

प्रश्न 1

(PUC) एक समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं के वर्गों का योग 32 के बराबर होता है। त्रिभुज का कर्ण कितना लंबा है?

ए) 3
बी 4
ग) 5
घ) 6

उत्तर देखो

सही विकल्प: बी) 4.

बयान में दी गई जानकारी से हम जानते हैं कि² + बी² + सी² = 32. दूसरी ओर, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा हमें² = बी² + सी² .

b. का मान बदलना²+सी²से² पहली अभिव्यक्ति में, हम पाते हैं:

² + द² =32 ⇒ 2.² = 32 से² = 32/2 से² = 16 ए = 16
ए = 4

अधिक प्रश्नों के लिए देखें: पाइथागोरस प्रमेय - व्यायाम

प्रश्न 2

(और या तो)

ऊपर की आकृति में, जो समान ऊंचाई के 5 चरणों वाली सीढ़ी के डिजाइन का प्रतिनिधित्व करता है, रेलिंग की कुल लंबाई बराबर है:

ए) 1.9 एम
बी) 2.1m
सी) 2.0 एम
डी) 1.8 एम
ई) 2.2m

उत्तर देखो

सही विकल्प: बी) 2.1 मी।

रेलिंग की कुल लंबाई 30 सेमी के बराबर लंबाई के दो खंडों के योग के बराबर होगी, जिस खंड के लिए हम माप नहीं जानते हैं।

हम आकृति से देख सकते हैं कि अज्ञात खंड एक समकोण त्रिभुज के कर्ण का प्रतिनिधित्व करता है, जिसके एक पैर का माप 90 सेमी के बराबर है।

दूसरे पैर का माप ज्ञात करने के लिए, हमें 5 चरणों की लंबाई को जोड़ना होगा। इसलिए, हमारे पास b = 5 है। 24 = 120 सेमी।

कर्ण की गणना करने के लिए, आइए इस त्रिभुज पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करें।

² = 90² + 120² सेवा मेरे² = ८१०० + १४ ४०० से² = 22 500 ए = √ 22 500 = 150 सेमी

ध्यान दें कि हम कर्ण की गणना के लिए पाइथागोरस सूट के विचार का उपयोग कर सकते थे, क्योंकि पैर (90 और 120) 3, 4 और 5 सूट के गुणक हैं (सभी शब्दों को 30 से गुणा करना)।

इस प्रकार रेलिंग की कुल माप होगी:

30 + 30 + 150 = 210 सेमी = 2.1 मी

के साथ अपने ज्ञान का परीक्षण करें त्रिकोणमिति व्यायाम

प्रश्न 3

(यूईआरजे) मिलर फर्नांडीस ने गणित को एक सुंदर श्रद्धांजलि में एक कविता लिखी, जिसमें से हम नीचे दिए गए अंश को निकालते हैं:

गणित की किताब की इतनी सारी शीटों के लिए,
एक भागफल को एक दिन बेतहाशा प्यार हो गया
एक अज्ञात द्वारा।
उसने अपनी असंख्य निगाहों से उसकी ओर देखा
और उसने उसे शीर्ष से आधार तक देखा: एक विषम आकृति;
विषमकोणीय आंखें, समलम्बाकार मुंह,
आयताकार शरीर, गोलाकार स्तन।
अपने जीवन को उसके समानांतर बना दिया,
जब तक वे इन्फिनिटी में नहीं मिले।
"तुम कौन हो?" - उन्होंने कट्टरपंथी चिंता में पूछा।
"मैं पैरों के वर्गों का योग हूं।
लेकिन आप मुझे कर्ण कह सकते हैं.”

(मिलर फर्नांडीस। खुद के तीस साल.)

गुप्त यह कहना गलत था कि यह कौन था। पाइथागोरस प्रमेय को पूरा करने के लिए, निम्नलिखित किया जाना चाहिए:

a) “मैं पैरों के योग का वर्ग हूँ। लेकिन मुझे कर्ण वर्ग कहो। ”
बी) "मैं पैरों का योग हूं। लेकिन आप मुझे कर्ण कह सकते हैं।"
ग) “मैं पैरों के योग का वर्ग हूँ। लेकिन आप मुझे कर्ण कह सकते हैं।"
d) “मैं पैरों के वर्गों का योग हूँ। लेकिन मुझे कर्ण वर्ग कहो। ”

उत्तर देखो

वैकल्पिक डी) "मैं पैरों के वर्गों का योग हूं। लेकिन मुझे कर्ण वर्ग कहो। ”

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