रेखा समीकरण: सामान्य, कम और खंडीय

रेखा के समीकरण को कार्तीय तल (x, y) पर आलेखित करके निर्धारित किया जा सकता है। रेखा से संबंधित दो अलग-अलग बिंदुओं के निर्देशांकों को जानकर हम इसका समीकरण निर्धारित कर सकते हैं।

सीधी रेखा के समीकरण को उसके झुकाव और उससे संबंधित बिंदु के निर्देशांक के आधार पर परिभाषित करना भी संभव है।

रेखा का सामान्य समीकरण

दो बिंदु एक रेखा को परिभाषित करते हैं। इस प्रकार, हम रेखा पर एक सामान्य बिंदु (x, y) के साथ दो बिंदुओं को संरेखित करके रेखा का सामान्य समीकरण ज्ञात कर सकते हैं।

मान लीजिए कि बिंदु A(x)Y y) और बी (एक्स_खY y_ख), गैर-संयोग और कार्टेशियन योजना से संबंधित।

तीन बिंदुओं को संरेखित किया जाता है जब उन बिंदुओं से जुड़े मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर होता है। तो हमें निम्नलिखित मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करनी चाहिए:

सारणिक को विकसित करने पर हम निम्नलिखित समीकरण पाते हैं:

(y -यो_ख) एक्स + (एक्स_ख - एक्स) वाई + एक्सआप_ख - एक्स_खआप = 0

चलो कॉल करो:

ए = (वाई -यो_ख)
बी = (एक्स_ख - एक्स)
सी = एक्सआप_ख - एक्स_खआप

सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0

कहा पे , ख तथा सी स्थिर हैं और तथा ख वे एक साथ शून्य नहीं हो सकते।

उदाहरण

बिंदुओं A(-1, 8) और B(-5, -1) से गुजरने वाली रेखा का एक सामान्य समीकरण ज्ञात कीजिए।

सबसे पहले हमें दिए गए बिंदुओं से जुड़े मैट्रिक्स और रेखा से संबंधित एक सामान्य बिंदु P(x, y) को परिभाषित करते हुए तीन-बिंदु संरेखण स्थिति लिखनी चाहिए।

सारणिक विकसित करते हुए, हम पाते हैं:

(8+1)x + (1-5)y + 40 + 1 = 0

बिंदु A(-1,8) और B(-5,-1) से गुजरने वाली रेखा का सामान्य समीकरण है:

9x - 4y + 41 = 0

अधिक जानने के लिए यह भी पढ़ें:

• मुख्यालय
• सिद्ध
• लाप्लास की प्रमेय

रेखा कम समीकरण

कोणीय गुणांक

हम रेखा का एक समीकरण पा सकते हैं आर इसके झुकाव (दिशा) को जानना, यानी कोण का मान जो रेखा x अक्ष के संबंध में प्रस्तुत करती है।

इसके लिए हम एक नंबर जोड़ते हैं म, जिसे रेखा का ढलान कहा जाता है, जैसे कि:

एम = टीजी

ढाल म यह सीधी रेखा से संबंधित दो बिंदुओं को जानकर भी पाया जा सकता है।

एम = टीजी के रूप में, फिर:

उदाहरण

रेखा r की ढलान निर्धारित करें, जो बिंदु A(1,4) और B(2,3) से होकर गुजरती है।

होना,

एक्स₁ = 1 और y₁ = 4
एक्स₂ = 2 और y₂ = 3

रेखा के कोणीय गुणांक को जानना म और एक बिंदु P₀(एक्स₀Y y₀) से संबंधित, हम इसके समीकरण को परिभाषित कर सकते हैं।

इसके लिए हम ज्ञात बिंदु P को प्रवणता सूत्र में प्रतिस्थापित करेंगे।₀ और एक सामान्य बिंदु P(x, y), भी रेखा से संबंधित है:

उदाहरण

उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु A(2,4) से होकर गुजरती है और जिसका ढाल 3 है।

रेखा के समीकरण को खोजने के लिए, बस दिए गए मानों को बदलें:

वाई - 4 = 3 (एक्स - 2)
वाई - 4 = 3x - 6
-3x + y + 2 = 0

रैखिक गुणांक

रैखिक गुणांक नहीं न सीधे आर को उस बिंदु के रूप में परिभाषित किया जाता है जहां रेखा y अक्ष को काटती है, अर्थात निर्देशांक P(0,n) का बिंदु।

इस बिंदु का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

वाई - एन = एम (एक्स - 0)

y = mx + n (घटित रेखा समीकरण)।

उदाहरण

यह जानते हुए कि रेखा r का समीकरण y = x + 5 द्वारा दिया गया है, इसकी ढलान, इसकी ढलान और उस बिंदु की पहचान करें जहां रेखा y अक्ष को काटती है।

जैसा कि हमारे पास रेखा का घटा हुआ समीकरण है, तब:

एम = 1
जहां एम = टीजी टीजी θ = 1 = 45º
y अक्ष के साथ रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु बिंदु P(0,n) है, जहां n=5, तो बिंदु P(0.5) होगा

यह भी पढ़ें ढलान की गणना

रेखा खंड समीकरण

हम बिंदु A(a, 0) का उपयोग करके ढलान की गणना कर सकते हैं कि रेखा x-अक्ष और बिंदु B(0,b) को काटती है जो y-अक्ष को काटती है:

n = b को ध्यान में रखते हुए और घटे हुए रूप में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है:

सभी सदस्यों को ab से विभाजित करने पर, हम रेखा का खंडीय समीकरण पाते हैं:

उदाहरण

बिंदु A(5.0) से गुजरने वाली और ढलान 2 वाली रेखा का समीकरण खंडीय रूप में लिखिए।

आइए सबसे पहले बिंदु B(0,b) खोजें, जो ढलान व्यंजक को प्रतिस्थापित करता है:

समीकरण में मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास रेखा का खंडीय समीकरण है:

इसके बारे में भी पढ़ें:

• कार्तीय योजना
• दो बिंदुओं के बीच की दूरी
• चोटीदार
• सीधे
• समानांतर रेखाएं
• लम्बवत रेखायें
• रेखा खंड
• रैखिक प्रकार्य
• एफ़िन फंक्शन
• संबंधित कार्य अभ्यास

हल किए गए व्यायाम

1) उस रेखा को देखते हुए जिसका समीकरण 2x + 4y = 9 है, उसका ढाल ज्ञात कीजिए।

उत्तर देखो

4y = - 2x + 9
वाई = - 2/4 x + 9/4
वाई = - 1/2 x + 9/4
इसलिए एम = - 1/2

2) रेखा 3x + 9y - 36 = 0 के समीकरण को संक्षिप्त रूप में लिखिए।

उत्तर देखो

वाई = -1/3 एक्स + 4

3) ईएनईएम - २०१६

एक विज्ञान मेले के लिए, दो रॉकेट प्रोजेक्टाइल, ए और बी लॉन्च किए जाने के लिए बनाए जा रहे हैं। उनके लिए यह योजना है कि उन्हें एक साथ लॉन्च किया जाए, जिसका उद्देश्य प्रोजेक्टाइल बी इंटरसेप्टिंग ए को अपनी अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचाना है। ऐसा होने के लिए, एक प्रक्षेप्य एक परवलयिक प्रक्षेपवक्र का वर्णन करेगा, जबकि दूसरा एक कथित रूप से सीधे प्रक्षेपवक्र का वर्णन करेगा। ग्राफ इन प्रक्षेप्यों द्वारा समय के एक फलन के रूप में किए गए सिमुलेशन में उन ऊंचाइयों को दिखाता है।

इन सिमुलेशन के आधार पर, यह देखा गया कि प्रक्षेप्य बी के प्रक्षेपवक्र को बदला जाना चाहिए ताकि
उद्देश्य हासिल किया था।

लक्ष्य तक पहुंचने के लिए, बी के प्रक्षेपवक्र का प्रतिनिधित्व करने वाली रेखा का कोणीय गुणांक होना चाहिए
ए) 2 इकाइयों की कमी।
बी) 4 इकाइयों की कमी।
ग) 2 इकाइयों की वृद्धि।
डी) 4 इकाइयों की वृद्धि।
ई) 8 इकाइयों की वृद्धि।

उत्तर देखो

पहले हमें रेखा B के ढलान का प्रारंभिक मान ज्ञात करना चाहिए।
यह याद रखना कि m = tg Ɵ, हमारे पास है:
म₁ = 12/6 = 2
A के प्रक्षेपवक्र के अधिकतम ऊंचाई बिंदु से गुजरने के लिए, रेखा B के ढलान का निम्न मान होना चाहिए:
म₂ = 16/4 = 4
इस प्रकार, रेखा B का ढलान 2 से 4 में बदलना होगा, फिर यह 2 इकाई बढ़ जाएगा।

वैकल्पिक सी: 2 इकाइयां बढ़ाएं

यह भी देखें: विश्लेषणात्मक ज्यामिति पर अभ्यास