संभाव्यता की अवधारणा और गणना

सिद्धांत संभावना गणित की वह शाखा है जो प्रयोगों या यादृच्छिक घटनाओं का अध्ययन करती है और इसके माध्यम से किसी निश्चित घटना के घटित होने की संभावना का विश्लेषण करना संभव है।

जब हम संभाव्यता की गणना करते हैं, तो हम विश्वास की एक डिग्री जोड़ रहे हैं कि प्रयोगों के संभावित परिणाम होंगे, जिनके परिणाम पहले से निर्धारित नहीं किए जा सकते हैं।

इस तरह, संभाव्यता गणना परिणाम की घटना को 0 से 1 के बीच के मान से जोड़ती है, और परिणाम 1 के जितना करीब होता है, इसकी घटना की निश्चितता उतनी ही अधिक होती है।

उदाहरण के लिए, हम इस संभावना की गणना कर सकते हैं कि कोई व्यक्ति एक विजेता लॉटरी टिकट खरीदेगा या यह जान सकता है कि एक जोड़े के 5 बच्चे होंगे, सभी लड़के।

यादृच्छिक प्रयोग

एक यादृच्छिक प्रयोग वह है जो यह अनुमान नहीं लगा सकता कि इसे करने से पहले क्या परिणाम मिलेगा।

इस प्रकार की घटनाएँ, जब समान परिस्थितियों में दोहराई जाती हैं, तो अलग-अलग परिणाम दे सकती हैं और इस अनिश्चितता को संयोग के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है।

एक यादृच्छिक प्रयोग का एक उदाहरण एक निष्पक्ष पासा (डाई जिसमें एक सजातीय द्रव्यमान वितरण होता है) को ऊपर की ओर रोल करना है। गिरते समय, निश्चित रूप से भविष्यवाणी करना संभव नहीं है कि 6 में से कौन सा चेहरा ऊपर की ओर होगा।

प्रायिकता सूत्र

एक यादृच्छिक घटना में, किसी घटना के घटित होने की संभावना समान रूप से होती है।

इसलिए, हम अनुकूल घटनाओं की संख्या और संभावित परिणामों की कुल संख्या को विभाजित करके दिए गए परिणाम की संभावना पा सकते हैं:

होना:

पी (ए): घटना A के घटित होने की प्रायिकता
पर): ऐसे मामलों की संख्या जिनमें हमें दिलचस्पी है (इवेंट ए)
एन (Ω): संभावित मामलों की कुल संख्या

उदाहरण

1) यदि हम एक पूर्ण पासे को रोल करते हैं, तो 3 से छोटी संख्या के लुढ़कने की क्या प्रायिकता है?

समाधान

परफेक्ट डाई के रूप में, सभी 6 चेहरों के आमने-सामने गिरने की समान संभावना होती है। तो चलिए प्रायिकता सूत्र लागू करते हैं।

इसके लिए, हमें यह विचार करना चाहिए कि हमारे पास 6 संभावित मामले हैं (1, 2, 3, 4, 5, 6) और घटना "3 से कम संख्या में से" की 2 संभावनाएं हैं, अर्थात संख्या 1 से बाहर या संख्या २। तो हमारे पास:

2) कार्ड के डेक में प्रत्येक सूट के 13 कार्ड के साथ चार सूट (दिल, क्लब, हीरे और हुकुम) में विभाजित 52 कार्ड होते हैं। इस प्रकार, यदि आप यादृच्छिक रूप से एक कार्ड निकालते हैं, तो क्लब सूट से कार्ड के निकलने की प्रायिकता क्या है?

समाधान

यादृच्छिक रूप से एक कार्ड बनाते समय, हम यह अनुमान नहीं लगा सकते कि यह कार्ड क्या होगा। तो यह एक यादृच्छिक प्रयोग है।

इस मामले में, कार्ड की संख्या संभावित मामलों की संख्या से मेल खाती है और हमारे पास 13 क्लब हैं जो अनुकूल घटनाओं की संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं।

इन मानों को संभाव्यता सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है:

नमूना जगह

पत्र द्वारा दर्शाया गया Ω, नमूना स्थान एक यादृच्छिक प्रयोग से प्राप्त संभावित परिणामों के सेट से मेल खाता है।

उदाहरण के लिए, जब बेतरतीब ढंग से एक डेक से एक कार्ड लेते हैं, तो नमूना स्थान उन 52 कार्डों से मेल खाता है जो इस डेक को बनाते हैं।

इसी तरह, एक पासे को एक बार घुमाते समय नमूना स्थान, छह चेहरे हैं जो इसे बनाते हैं:

= {1, 2, 3, 4, 5 और 6}।

आयोजनों के प्रकार

घटना किसी यादृच्छिक प्रयोग के प्रतिदर्श समष्टि का कोई उपसमुच्चय है।

जब कोई घटना बिल्कुल उसके प्रतिदर्श समष्टि के समान होती है, तो उसे a. कहा जाता है सही घटना. इसके विपरीत, जब घटना खाली होती है, तो इसे a. कहा जाता है असंभव घटना.

उदाहरण

कल्पना कीजिए कि हमारे पास 1 से 20 तक की गेंदों के साथ एक बॉक्स है और सभी गेंदें लाल हैं।

"एक लाल गेंद ड्रा करें" घटना एक निश्चित घटना है, क्योंकि बॉक्स में सभी गेंदें इसी रंग की हैं। "30 से बड़ी संख्या खींचना" घटना असंभव है, क्योंकि बॉक्स में सबसे बड़ी संख्या 20 है।

संयुक्त विश्लेषण

कई स्थितियों में, एक यादृच्छिक प्रयोग में संभावित और अनुकूल घटनाओं की संख्या को सीधे खोजना संभव है।

हालांकि, कुछ समस्याओं में आपको इन मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता होगी। इस मामले में, हम प्रश्न में प्रस्तावित स्थिति के अनुसार क्रमपरिवर्तन, व्यवस्था और संयोजन सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं।

विषय के बारे में अधिक जानने के लिए, यहां जाएं:

• संयुक्त विश्लेषण
• संयुक्त विश्लेषण अभ्यास
• मतगणना का मूल सिद्धांत
• परिवर्तन

उदाहरण

(EsPCEx - 2012) अंकों 1, 2, 3, 4, 5 में से किसी एक क्रमपरिवर्तन के यादृच्छिक चयन में 2 से विभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है

समाधान

इस स्थिति में, हमें संभावित घटनाओं की संख्या ज्ञात करने की आवश्यकता है, अर्थात् दिए गए 5 अंकों (n=5) के क्रम को बदलने पर हमें कितनी भिन्न संख्याएँ प्राप्त होती हैं।

चूंकि, इस मामले में, अंकों का क्रम अलग-अलग संख्याएं बनाता है, हम क्रमपरिवर्तन सूत्र का उपयोग करेंगे। इसलिए, हमारे पास है:

संभावित घटनाएं:

इसलिए, 5 अंकों से हम 120 अलग-अलग संख्याएँ पा सकते हैं।

प्रायिकता की गणना करने के लिए, हमें अभी भी उन अनुकूल घटनाओं की संख्या ज्ञात करनी है, जो इस मामले में, 2 से विभाज्य संख्या ज्ञात करना है, जो तब होगा जब संख्या का अंतिम अंक 2 या. हो 4.

यह मानते हुए कि अंतिम स्थिति के लिए हमारे पास केवल ये दो संभावनाएं हैं, फिर हमें अन्य 4 पदों को स्वैप करना होगा जो संख्या बनाते हैं, जैसे:

अनुकूल घटनाएँ:

करने से संभावना मिल जाएगी:

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व्यायाम हल

1) पीयूसी/आरजे - 2013

यदि a = 2n + 1 n {1, 2, 3, 4} के साथ, तो संख्या. की प्रायिकता एक जोड़ी होना है

1. तक
बी) 0.2
ग) 0.5
घ) 0.8
ई) 0

उत्तर देखो

जब हम n के प्रत्येक संभावित मान को संख्या a के व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हम देखते हैं कि परिणाम हमेशा एक विषम संख्या होगी।

इसलिए, "सम संख्या होना" एक असंभव घटना है। इस मामले में, संभावना शून्य के बराबर है।

वैकल्पिक: ई) 0

2) यूपीई - 2013

एक स्पेनिश पाठ्यक्रम के एक समूह में, तीन लोग चिली में और सात स्पेन में एक विनिमय कार्यक्रम करने का इरादा रखते हैं। इन दस लोगों में से दो को साक्षात्कार के लिए चुना गया था जो विदेश में अध्ययन के लिए छात्रवृत्ति प्राप्त करेंगे। संभावना है कि ये दो चुने हुए लोग चिली में एक्सचेंज करने का इरादा रखने वालों के समूह से संबंधित हैं

उत्तर देखो

सबसे पहले, आइए संभावित स्थितियों की संख्या ज्ञात करें। चूंकि 2 लोगों की पसंद आदेश पर निर्भर नहीं करती है, हम संभावित मामलों की संख्या निर्धारित करने के लिए संयोजन सूत्र का उपयोग करेंगे, अर्थात:

तो 10 लोगों के समूह में से 2 लोगों को चुनने के 45 तरीके हैं।

अब, हमें अनुकूल घटनाओं की संख्या की गणना करने की आवश्यकता है, अर्थात, तैयार किए गए दो लोग चिली में विनिमय करना चाहते हैं। फिर से हम संयोजन सूत्र का उपयोग करेंगे:

तो 3 में से 2 लोगों को चुनने के 3 तरीके हैं जो चिली में अध्ययन करना चाहते हैं।

पाए गए मूल्यों के साथ, हम सूत्र में प्रतिस्थापन के लिए अनुरोधित संभावना की गणना कर सकते हैं:

वैकल्पिक: बी)

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