पीए की शर्तों का योग

अंकगणितीय प्रगति (कड़ाही) यह है एक संख्यात्मक अनुक्रम जहां दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर हमेशा समान मान के बराबर होता है, एक स्थिरांक r।

उदाहरण के लिए, (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) अनुपात r = 2 का एक AP है।

इस प्रकार का अनुक्रम (PA) बहुत सामान्य है और हम अक्सर अनुक्रम के सभी पदों का योग निर्धारित करना चाहते हैं। उपरोक्त उदाहरण में, योग 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 द्वारा दिया गया है।

हालांकि, जब बीपी के कई पद होते हैं या जब सभी शब्द ज्ञात नहीं होते हैं, तो सूत्र का उपयोग किए बिना इस राशि को प्राप्त करना अधिक कठिन हो जाता है। तो, के लिए सूत्र देखें पीए की शर्तों का योग.

पीए की शर्तों के योग का सूत्र Formula

a. की शर्तों का योगअंकगणितीय प्रगति निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके अनुक्रम के केवल पहले और अंतिम पद को जानकर निर्धारित किया जा सकता है:

$\dpi{120} \छोटा \mathbf{S_n = \frac{n.(a_1+a_n)}{2}}$

किस पर:

$\dpi{120} \mathbf{n}$ : पीए शर्तों की संख्या;
$\dpi{120} \mathbf{a_1}$ : बीपी का पहला टर्म है;
$\dpi{120} \mathbf{a_n}$ : पीए का अंतिम कार्यकाल है।

प्रदर्शन:

यह प्रदर्शित करते हुए कि प्रस्तुत सूत्र वास्तव में एपी के एन शब्दों के योग की गणना करने की अनुमति देता है, हमें एपी की एक बहुत ही महत्वपूर्ण संपत्ति पर विचार करना चाहिए:

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एक पीए के गुण: एक परिमित PA के केंद्र से समान दूरी पर स्थित दो पदों का योग हमेशा समान मान, अर्थात स्थिर होता है।

यह समझने के लिए कि व्यवहार में यह कैसे काम करता है, प्रारंभिक उदाहरण (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) से बीपी पर विचार करें।

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 1 + 15 = 16

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(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 3 + 13 = 16

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 5 + 11 = 16

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 7 + 9 = 16

अब देखिए कि 16 + 16 + 16 + 16 = 4 x 16 = 64, जो इस PA के पदों का योग है। इसके अलावा:

संख्या 16 केवल प्रथम और अंतिम पद 1+ 15 = 16 से ही प्राप्त की जा सकती है।
संख्या 16 को 4 बार जोड़ा गया, जो अनुक्रम में पदों की संख्या (8/2 = 4) के आधे से मेल खाती है।

जो हुआ वह संयोग नहीं है और किसी भी पीए के लिए जाता है।

किसी भी PA में, समदूरस्थ पदों का योग हमेशा वही मान होगा, जिसे निम्न द्वारा प्राप्त किया जा सकता है ( $\dpi{120} \छोटा \mathrm{a_1+ a_n}$ ) और हमेशा की तरह हर दो मानों को. के क्रम में जोड़ा जाता है $\dpi{120} \छोटा \mathrm{n}$ शर्तें, वहाँ होगी ( $\dpi{120} \छोटा \mathrm{a_1+ a_n}$ ) का कुल $\dpi{120} \छोटा \mathrm{\frac{n}{2}}$ बार।

वहां से, हमें सूत्र मिलता है:

$\dpi{120} \छोटा \mathbf{S_n = \frac{n}{2}.(a_1+a_n)=\frac{n.(a_1+a_n)}{2}}$

उदाहरण:

बीपी शर्तों (-10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60) के योग की गणना करें।

$\dpi{120} \छोटा \mathrm{S_{15} =\frac{15.(-10+60)}{2} = \frac{15\cdot 50}{2} = \frac{750}{2 }= 375}$

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