आयत त्रिभुज: यह क्या है, गुण, अनुप्रयोग

हे त्रिकोणआयत एक कोण आंतरिक माप ९०°, अर्थात् इसमें a. है रेखीय कोण. इस प्रकार के त्रिभुज का अध्ययन बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह पाइथागोरस प्रमेय जैसे महत्वपूर्ण उपकरणों का उपयोग करके व्यावहारिक समस्याओं की एक श्रृंखला को हल करता है। त्रिकोणमिति.

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समकोण त्रिभुज की मुख्य विशेषताएं

ज्ञात हो कि अ त्रिकोण आयत में केवल एक है आंतरिक कोण 90°. मापता है. इस विशेषता के अलावा, हम दिखा सकते हैं कि अन्य आंतरिक कोण 90° से छोटे हैं।

समकोण त्रिभुज ABC पर विचार करें:

हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज के अंतः कोणों का योगफल 180° के बराबर है, तो हमारे पास है:

α + β + 90° = 180°

α + β = 180° – 90°

α + β = 90°

ध्यान दें कि α और β कोणों का योग 90° देता है, इसका मतलब है कि उनमें से प्रत्येक 90° से कम होना चाहिए, क्योंकि वे शून्य के बराबर नहीं हो सकते।

हमें ध्यान देना चाहिए नामावली अब से इस्तेमाल किया। हे बड़ापक्ष समकोण त्रिभुज कहलाता है कर्ण. अन्य पक्षों को कहा जाता है पेकेरीज़

पैरों को एक दूसरे से अलग करने के लिए, आइए निम्नलिखित नियम स्थापित करें: पैर जो है का सामना करना पड़ एक निश्चित कोण पर, इसे कहा जाएगा कॉलर

विपरीत; और पैर जो है इसके आगे एक निश्चित कोण से, इसे कहा जाएगा आसन्न पैर.

इसलिए, कोण α के संबंध में, हमारे पास है:

ए → विपरीत पक्ष

सी → आसन्न पक्ष

कोण β के संबंध में, हमारे पास है:

सी → विपरीत पक्ष

ए → आसन्न पक्ष

यह भी ध्यान दें कि कर्ण हमेशा तय होता है, केवल कॉलर वाले पेकेरीज़ को उनके नामकरण में यह भेदभाव प्राप्त होता है।

पाइथागोरस प्रमेय

समकोण त्रिभुज का एक महत्वपूर्ण बीजगणितीय संबंध है जो कर्ण के माप को पैरों के माप से जोड़ता है। इस संबंध को पाइथागोरस प्रमेय के रूप में जाना जाता है, और वास्तव में, यह एक समकोण त्रिभुज के अस्तित्व की शर्त है, अर्थात्: यदि पाइथागोरस का प्रमेय मान्य है, तो त्रिभुज आयत है, और इसके विपरीत।

"कर्ण के माप का वर्ग पैरों की माप के वर्गों के योग के बराबर होता है।"

अधिक पढ़ें:पाइथागोरस प्रमेय - कैसे लागू करें?

समकोण त्रिभुज में त्रिकोणमिति

हमने पहले देखा कि, एक समकोण त्रिभुज में, दो आंतरिक कोण न्यूनकोण हैंअर्थात्, उनका आयाम 90° से कम है। आइए अब की माप ज्ञात करें ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा एक तीव्र कोण से।

• ज्या कोण का कर्ण के विपरीत पक्ष का अनुपात है।
• कोज्या कोण से. है कारण आसन्न पक्ष और कर्ण के बीच।
• स्पर्शरेखा एक कोण के विपरीत पक्ष का आसन्न पक्ष का अनुपात है।

अब एक समकोण त्रिभुज में ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा मानों को देखें। ध्यान दें कि संदर्भ कोण के आधार पर साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा मान बदलते हैं:

कोण α के संबंध में, हमारे पास है:

कोण β के संबंध में, हमारे पास है:

समकोण त्रिभुज 90° के कोण से बनता है।

हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1 - (पीयूसी-आरएस) एक गेंद को बिंदु एम से लात मारी गई, रैंप पर गई और बिंदु एन पर गई, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है:

M और N के बीच की दूरी लगभग है:

ए) 4.2 एम

बी) 4.5 एम

सी) 5.9 एम

डी) 6.5 एम

ई) 8.5 एम

संकल्प

वैकल्पिक सी.

ध्यान दें कि, बिंदु M और N के बीच की दूरी निर्धारित करने के लिए, पहले पैर की माप ज्ञात करना आवश्यक है। इसके बाद, देखें कि हमें 30° के कोण से सटे पैर की माप निर्धारित करने की आवश्यकता है और यह कि कर्ण दिया गया है। आसन्न पक्ष और कर्ण को शामिल करने वाला त्रिकोणमितीय संबंध कोसाइन है।

हम जानते हैं कि 3 1.7। इसलिए, गेंद यात्रा करती है:

1,5 + 2√3 +1

1,5 + 2(1,7) +1

1,5 + 3,4 + 1

4,9 + 1

5.9 वर्ग मीटर

प्रश्न 2 - (PUC-SP) निम्नलिखित आकृति में x का मान क्या है?

संकल्प

प्रारंभ में, आइए 30° कोण के विपरीत पैर की माप ज्ञात करें। इस प्रकार:

केवल सबसे छोटे त्रिभुज को देखते हुए, देखें कि हमारे पास 60° कोण के विपरीत पक्ष है और हमें आसन्न भुजा का मान निर्धारित करने की आवश्यकता है। इसके लिए हमें कोण की स्पर्श रेखा का प्रयोग करना चाहिए।