एक बहुपद समीकरण एक होने की विशेषता है बहुपद शून्य के बराबर। यह बहुपद की डिग्री द्वारा विशेषता हो सकती है, और यह डिग्री जितनी अधिक होगी, इसका समाधान या जड़ खोजने में कठिनाई की डिग्री उतनी ही अधिक होगी।
इस संदर्भ में यह समझना भी महत्वपूर्ण है कि बीजगणित का मूल प्रमेय क्या है, जो बताता है कि प्रत्येक बहुपद समीकरण में कम से कम एक जटिल हल होता है, दूसरे शब्दों में: डिग्री एक के समीकरण में कम से कम एक समाधान होगा, डिग्री दो के समीकरण में कम से कम दो समाधान होंगे, और इसी तरह।
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बहुपद समीकरण क्या है
एक बहुपद समीकरण को शून्य के बराबर बहुपद होने की विशेषता है, इस प्रकार, P(x) = 0 प्रकार का प्रत्येक व्यंजक एक बहुपद समीकरण है, जहाँ P(x) एक बहुपद है। एक बहुपद समीकरण का सामान्य मामला और कुछ उदाहरण नीचे देखें।
इसपर विचार करेंनहीं न, एएन -1, ए एन -2,..., थे1, ए0 और x वास्तविक संख्याये, और n एक धनात्मक पूर्णांक है, निम्नलिखित व्यंजक घात n का एक बहुपद समीकरण है।
- उदाहरण
निम्नलिखित समीकरण बहुपद हैं।
ए) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
बी) 5x2 – 3 = 0
ग) 6x - 1 = 0
घ) 7x3 - एक्स2 + 4x + 3 = 0
बहुपद की तरह, बहुपद समीकरणों की भी अपनी डिग्री होती है। एक बहुपद समीकरण की घात ज्ञात करने के लिए, केवल उच्चतम घात ज्ञात कीजिए जिसका गुणांक शून्य से भिन्न है। इसलिए, पिछली वस्तुओं के समीकरण क्रमशः हैं:
a) समीकरण से है चौथी डिग्री:3एक्स4+ 4x2 – 1 = 0.
बी) समीकरण से है उच्च विद्यालय:5एक्स2 – 3 = 0.
ग) समीकरण से है प्रथम श्रेणी:6एक्स – 1 = 0.
d) समीकरण से है थर्ड डिग्री: 7एक्स3- एक्स2 + 4x + 3 = 0.
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बहुपद समीकरण को कैसे हल करें?
एक बहुपद समीकरण को हल करने की विधि इसकी डिग्री पर निर्भर करती है। किसी समीकरण की डिग्री जितनी अधिक होती है, उसे हल करना उतना ही कठिन होता है। इस लेख में, हम. के बहुपद समीकरणों को हल करने की विधि दिखाएंगे पहली डिग्री, दूसरी डिग्री और बिस्क्वेयर।
पहली डिग्री का बहुपद समीकरण
प्रथम घात का एक बहुपद समीकरण a. द्वारा वर्णित है डिग्री 1 बहुपद। तो हम सामान्य तौर पर, पहली डिग्री का समीकरण इस प्रकार लिख सकते हैं।
दो वास्तविक संख्याओं पर विचार करें तथा ख 0 के साथ, निम्नलिखित व्यंजक प्रथम घात का बहुपद समीकरण है:
कुल्हाड़ी + बी = 0
इस समीकरण को हल करने के लिए, हमें का उपयोग करना चाहिए तुल्यता सिद्धांतयानी समानता के एक तरफ जो कुछ भी संचालित होता है, उसे दूसरी तरफ भी संचालित किया जाना चाहिए। प्रथम कोटि के समीकरण का हल ज्ञात करने के लिए हमें अज्ञात को अलग करें। इसके लिए पहला कदम को खत्म करना है ख समानता के बाईं ओर, और फिर घटानामल्लाहों b समानता के दोनों ओर।
कुल्हाड़ी + बी - बी = 0 - बी
कुल्हाड़ी = - बी
ध्यान दें कि अज्ञात x का मान पृथक नहीं है, गुणांक a को समानता के बाईं ओर से समाप्त करने की आवश्यकता है, और उसके लिए, आइए दोनों पक्षों को विभाजित करें .
- उदाहरण
समीकरण 5x + 25 = 0 को हल करें।
समस्या को हल करने के लिए, हमें तुल्यता सिद्धांत का उपयोग करना चाहिए। प्रक्रिया को सुविधाजनक बनाने के लिए, हम समानता के बाईं ओर ऑपरेशन के लेखन को छोड़ देंगे, होने के नाते बराबर तो यह कहने के लिए कि हम संख्या को दूसरी तरफ "पास" करने जा रहे हैं, संकेत (उलटा ऑपरेशन) को बदल रहे हैं।
हमारे पाठ तक पहुँच कर इस प्रकार के समीकरण को हल करने के बारे में और जानें: अज्ञात के साथ प्रथम डिग्री समीकरण.
दूसरी डिग्री का बहुपद समीकरण
दूसरी डिग्री के एक बहुपद समीकरण की विशेषता है a घात दो बहुपद. तो,, 0 के साथ a, b, और c वास्तविक संख्याओं पर विचार करें। एक दूसरी डिग्री समीकरण द्वारा दिया गया है:
कुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी = 0
आपका समाधान की विधि का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है भास्कर या फैक्टरिंग द्वारा। यदि आप इस प्रकार के समीकरणों के बारे में अधिक जानना चाहते हैं, तो पढ़ें: eq केकी कार्रवाई रोंदूसरा जीराव.
→ भास्कर विधि
भास्कर विधि का प्रयोग करते हुए इसके मूल निम्न सूत्र द्वारा दिए गए हैं:
- उदाहरण
समीकरण x. का हल ज्ञात कीजिए2 - 3x + 2 = 0।
ध्यान दें कि समीकरण के गुणांक क्रमशः a = 1, b = -3 और c = 2 हैं। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हमें यह करना होगा:
→ गुणन
ध्यान दें कि व्यंजक x. का गुणनखंड करना संभव है2 - ३x + २ = ० के विचार का उपयोग करते हुए बहुपद गुणनखंड.
एक्स2 - 3x + 2 = 0
(एक्स - 2) · (एक्स - 1) = 0
अब ध्यान दें कि हमारे पास शून्य के बराबर एक उत्पाद है, और एक उत्पाद शून्य के बराबर है, यदि कोई एक कारक शून्य के बराबर है, तो हमें यह करना होगा:
एक्स - 2 = 0
एक्स = 2
या
एक्स - 1 = 0
एक्स = 1
देखें कि हमने दो अलग-अलग विधियों का उपयोग करके समीकरण का हल ढूंढा है।
द्वि-वर्ग समीकरण
द्विवर्ग समीकरण यह है एक चौथी डिग्री के बहुपद समीकरण का विशेष मामला, आम तौर पर एक चौथाई डिग्री समीकरण इस रूप में लिखा जाएगा:
कुल्हाड़ी4 + बीएक्स3 + बॉक्स2 + डीएक्स + ई = 0
जहां नंबर ऐ बी सी डी तथा तथा 0 के साथ वास्तविक हैं। एक चौथाई डिग्री समीकरण को द्विवर्ग माना जाता है जब गुणांक b = d = 0, अर्थात समीकरण इस रूप में होता है:
कुल्हाड़ी4 + बॉक्स2 + और = 0
नीचे दिए गए उदाहरण में देखें कि इस समीकरण को कैसे हल किया जाए।
- उदाहरण
x समीकरण को हल करें4 - 10x2 + 9 = 0.
समीकरण को हल करने के लिए, हम निम्नलिखित अज्ञात परिवर्तन का उपयोग करने जा रहे हैं, और जब भी समीकरण द्विवर्गीय होगा, हम वह परिवर्तन करने जा रहे हैं।
एक्स2 =पी
द्वि-वर्ग समीकरण से, ध्यान दें कि x4 = (एक्स2)2 और इसलिए हमें यह करना होगा:
एक्स4 - 10x2 + 9 = 0
(एक्स2)2 – 10एक्स2 + 9 = 0
पी2 - १०पी + ९ = ०
देखें कि अब हमारे पास दूसरी डिग्री का बहुपद समीकरण है और हम भास्कर की विधि का उपयोग इस तरह कर सकते हैं:
हालाँकि, हमें यह याद रखना चाहिए कि, अभ्यास की शुरुआत में, एक अज्ञात परिवर्तन किया गया था, इसलिए हमें प्रतिस्थापन में पाए गए मान को लागू करना चाहिए।
एक्स2 =पी
पी = 9 के लिए हमें यह करना होगा:
एक्स2 = 9
एक्स' = 3
या
एक्स '' = - 3
पी = 1. के लिए
एक्स2 = 1
एक्स' = 1
या
एक्स '' = - 1
इसलिए, द्विवर्ग समीकरण का हल सेट है:
एस = {3, -3, 1, -1}
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बीजगणित की मौलिक प्रमेय (TFA)
1799 में गॉस द्वारा सिद्ध बीजगणित (TFA) के मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक बहुपद समीकरण में कम से कम एक जटिल जड़ होती है।
बहुपद समीकरण का मूल उसका हल होता है, अर्थात अज्ञात मान ही समानता को सत्य बनाता है। उदाहरण के लिए, प्रथम-डिग्री समीकरण में एक रूट पहले से ही निर्धारित होता है, जैसा कि सेकेंड-डिग्री समीकरण होता है, जिसमें कम से कम दो जड़ें होती हैं, और एक द्विवर्ग, जिसमें कम से कम चार जड़ें होती हैं।
हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1 - x का वह मान ज्ञात कीजिए जो समानता को सत्य बनाता है।
2x - 8 = 3x + 7
संकल्प
ध्यान दें कि समीकरण को हल करने के लिए, इसे व्यवस्थित करना आवश्यक है, अर्थात सभी अज्ञात को समानता के बाईं ओर छोड़ दें।
2x - 8 = 3x + 7
2x - 3x = 7 + 8
- एक्स = 15
तुल्यता सिद्धांत से, हम समानता के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा कर सकते हैं, और चूँकि हम x का मान ज्ञात करना चाहते हैं, हम दोनों पक्षों को -1 से गुणा करेंगे।
(–1)- एक्स = 15(–1)
एक्स = - 15
प्रश्न 2 - मार्कोस के पास जोआओ से R$20 अधिक है। साथ में, वे दो जोड़ी स्नीकर्स खरीदने का प्रबंधन करते हैं, प्रत्येक जोड़ी की कीमत $ 80 है और कोई पैसा नहीं बचा है। जॉन के पास कितने रियास हैं?
संकल्प
विचार करें कि मार्क के पास x रीइस है, क्योंकि जॉन के पास 20 रीइस अधिक है, इसलिए उसके पास x + 20 है।
अंक → x वास्तविक
जोआओ → (x + 20) पुन:
उन्होंने कैसे खरीदा स्नीकर्स के दो जोड़े जिसकी कीमत 80 रियास प्रत्येक है, इसलिए यदि हम प्रत्येक के भागों को एक साथ रखते हैं, तो हमें यह करना होगा:
एक्स + (एक्स + 20) = 2 · 80
एक्स + एक्स = 160 - 20
2x = 140
इस प्रकार मरकुस के पास ७० और योआओ के पास ९० रियास थे।
रॉबसन लुइज़ो द्वारा
गणित अध्यापक
