डोमेन, रेंज और रेंज गणितीय कार्यों से संबंधित संख्यात्मक सेट हैं। ये अपने गठन कानूनों के माध्यम से मूल्यों को बदलते हैं और उन्हें आउटपुट सेट, डोमेन से आगमन सेट, रेंज तक पहुंचाते हैं।
डोमेन सेट से वे मान आते हैं जो फ़ंक्शन फॉर्मूला, या गठन कानून द्वारा परिवर्तित हो जाएंगे। बाद में, ये मान कोडोमेन पर आते हैं।
कोडोमेन में आने वाले तत्वों द्वारा गठित उपसमुच्चय को प्रतिबिम्ब समुच्चय कहते हैं।
इस तरह, डोमेन, रेंज और रेंज गैर-रिक्त सेट हैं और परिमित या अनंत हो सकते हैं।
कार्यों के अध्ययन में, यह निर्दिष्ट करना आवश्यक है कि कौन से तत्व या इन सेटों का दायरा क्या है। उदाहरण के लिए: प्राकृत संख्याओं का समुच्चय या वास्तविक संख्याओं का समुच्चय।
एक डोमेन ए को देखते हुए जिसमें प्रत्येक तत्व x जो उससे संबंधित है, फ़ंक्शन द्वारा एक तत्व y में परिवर्तित हो जाता है जो कि श्रेणी B से संबंधित है, प्रत्येक तत्व y को x की एक छवि कहा जाता है।
किसी फ़ंक्शन के डोमेन और श्रेणी को निर्दिष्ट करने के लिए, संकेतन का उपयोग किया जाता है:
(हम ए से बी तक एफ पढ़ते हैं)
ये परिवर्तन कानून ऐसे भाव हैं जिनमें संचालन और संख्यात्मक मान शामिल हैं।
उदाहरण
एक फ़ंक्शन f: A→B गठन कानून द्वारा परिभाषित f(x) = 2x, जहां इसका डोमेन सेट है A={1, 2, 3} और श्रेणी B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, को तालिका में मानों द्वारा दर्शाया जा सकता है और आरेख:
|
कार्यक्षेत्र एक्स |
एफ (एक्स) = 2x |
छवि तथा |
|---|---|---|
| 1 | च (1) = 2. 1 | 2 |
| 2 | च(2) = 2. 2 | 4 |
| 3 | च (3) = 2. 3 | 6 |
तालिका परिणामों को आरेखों में व्यवस्थित करना:
कार्यक्षेत्र
फ़ंक्शन f का डोमेन डी आउटपुट सेट है, जो फ़ंक्शन पर लागू किए गए तत्वों x से बना है।
ज्यामितीय रूप से, कार्तीय तल में, डोमेन तत्व भुज का x-अक्ष बनाते हैं।
अंकन में डोमेन को तीर से पहले के अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है।
प्रान्त के प्रत्येक अवयव x का कोडोमेन में कम से कम एक प्रतिबिम्ब y है।
कोडोमेन
सीडी डोमेन आगमन सेट है। अंकन में तीर के दाईं ओर दर्शाया गया है।
छवि
Image Im, श्रेणी का एक उपसमुच्चय है, जो y तत्वों द्वारा बनता है, जो फ़ंक्शन को छोड़ कर उस श्रेणी पर पहुंचते हैं, जिसमें तत्वों की संख्या समान हो सकती है, या छोटी संख्या हो सकती है।
इस प्रकार किसी फलन f का प्रतिबिम्ब समुच्चय कोडोमेन में समाहित होता है।
ज्यामितीय रूप से, एक कार्तीय तल में छवि सेट के तत्व निर्देशांक के y-अक्ष का निर्माण करते हैं।
यह कहना सामान्य है कि y फलन f(x) द्वारा ग्रहण किया गया मान है और इस प्रकार हम लिखते हैं:
यह संभव है कि एक ही तत्व y डोमेन में एक से अधिक तत्वों x की एक छवि है।
उदाहरण
समारोह में कानून द्वारा परिभाषित
, डोमेन के सममित x-मानों के लिए, हमारे पास एक y-छवि है।
के बारे में अधिक जानने कार्यों.
डोमेन, को-डोमेन और इमेज एक्सरसाइज
अभ्यास 1
दिए गए समुच्चय A = {8, 12, 13, 20, 23} और B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}, निर्धारित करें: कार्य।
ए) एफ: ए → बी एफ (एक्स) = 2x + 1. द्वारा परिभाषित
बी) एफ: ए → बी एफ (एक्स) = 3x - 14. द्वारा परिभाषित
ए) एफ: ए → बी एफ (एक्स) = 2x + 1. द्वारा परिभाषित
डोमेन ए = {8, 12, 13, 20, 23}
डोमेन बी = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
छवि आईएम (एफ) = {17,25,27,41,47}
| डी (एफ) | f(x)=2x+1 | मैं (च) |
|---|---|---|
| 8 | च (8)=2.8+1 | 17 |
| 12 | च (12)=2.12+1 | 25 |
| 13 | च (13)=2.13+1 | 27 |
| 20 | च(20)=2.20+1 | 41 |
| 23 | च (23)=2.23+1 | 47 |
बी) एफ: ए → बी एफ (एक्स) = 3x - 14. द्वारा परिभाषित
डोमेन ए = {8, 12, 13, 20, 23}
डोमेन बी = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
छवि इम (एफ) = {}
| डी (एफ) | एफ (एक्स) = 3x - 14 | मैं (च) |
|---|---|---|
8 |
च (8)=3.8 - 14 | 10 |
| 12 | च (12)=3.12 - 14 | 24 |
| 13 | च (13)=3.13 - 14 | 25 |
| 20 | च (20)=3.20 - 14 | 46 |
| 23 | च (23)=3.23 - 14 | 55 |
व्यायाम 2
द्वारा परिभाषित कार्यों का डोमेन निर्धारित करें:
डोमेन संभावित मानों का समुच्चय है जो x ले सकता है।
a) हम जानते हैं कि शून्य से भाग करना संभव नहीं है, इसलिए हर को शून्य से अलग होना चाहिए।
हम पढ़ते हैं: x वास्तविक से संबंधित है जैसे कि x 2 से भिन्न है।
b) ऋणात्मक संख्या का कोई वर्गमूल नहीं होता है। इसलिए, रेडिकैंड शून्य से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
हम पढ़ते हैं: x वास्तविक से संबंधित है जैसे कि x 5 से बड़ा या उसके बराबर है।
व्यायाम 3
पूर्णांकों के समुच्चय में डोमेन के साथ फलन को देखते हुए f(x) का प्रतिबिम्ब समुच्चय क्या है?
पूर्णांकों का समुच्चय Z ऋणात्मक और धनात्मक दोनों संख्याओं को स्वीकार करता है जहाँ दो क्रमागत संख्याएँ 1 इकाई अलग होती हैं।
इस तरह, फ़ंक्शन सकारात्मक और नकारात्मक मानों को स्वीकार करता है। हालाँकि, चूँकि x का वर्ग है, प्रत्येक मान, यहाँ तक कि एक ऋणात्मक भी, एक धनात्मक मान लौटाएगा।
उदाहरण
एफ(-2) = (-2)² = -2। (-2) = 4
इस तरह, छवि में केवल प्राकृतिक संख्याएँ होंगी।
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अनुप्रयोग और जिज्ञासा
किसी भी घटना के अध्ययन में कार्यों का अनुप्रयोग होता है जिसमें एक पैरामीटर दूसरे पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, समय के साथ फर्नीचर के एक टुकड़े की गति, पेट में अम्लता की विशेषताओं वाली दवा का प्रभाव, ईंधन की मात्रा के साथ बॉयलर का तापमान।
कार्य वास्तविक परिघटनाओं में मौजूद होते हैं और इसलिए, सभी वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग अध्ययनों में आवेदन होते हैं।
कार्यों का अध्ययन हाल ही में नहीं है, बेबीलोनियाई तालिकाओं में पुरातनता के कुछ रिकॉर्ड बताते हैं कि वे पहले से ही गणित का हिस्सा थे। वर्षों से, अंकन, जिस तरह से वे लिखे गए हैं, कई गणितज्ञों से योगदान प्राप्त कर रहे हैं और सुधार कर रहे हैं, जब तक कि हम आज उनका उपयोग नहीं करते हैं।
