Hyperbole. définition de l'hyperbole

Qu'est-ce que l'hyperbole ?
Définition: Soit F1 et F2 deux points du plan et soit 2c la distance qui les sépare, l'hyperbole est l'ensemble des points du plan dont la différence (en module) des distances à F1 et F2 est la constante 2a (0 < 2a < 2c).
Éléments d'une hyperbole :

F1 et F2 → sont les foyers d'hyperbole
→ est le centre de l'hyperbole
2c → focale
2ème → mesure d'axe réel ou transversal
2b → mesure d'axe imaginaire
c/a → excentricité
Il existe une relation entre a, b et c → c² = le² + b²

Équation de l'hyperbole réduite
1er cas: Hyperbole avec foyers sur l'axe des x.

Il est clair que dans ce cas les foyers auront pour coordonnées F1 (-c, 0) et F2(c, 0).
Ainsi, l'équation réduite de l'ellipse de centre à l'origine du plan cartésien et focalisée sur l'axe des x sera :

2ème cas: Hyperbole avec foyers sur l'axe des y.

Dans ce cas, les foyers auront les coordonnées F1 (0, -c) et F2(0, c).
Ainsi, l'équation réduite de l'ellipse de centre à l'origine du plan cartésien et focalisée sur l'axe y sera :

Exemple 1. Trouver l'équation réduite de l'hyperbole d'axe réel 6, foyers F1(-5, 0) et F2(5, 0).

Solution: nous devons
2a = 6 → a = 3
F1(-5, 0) et F2(5, 0) → c = 5
De la relation remarquable, on obtient :
ç² = le² + b^2 → 5² = 3² + b² → b² =25 - 9 → b² = 16 → b = 4
Ainsi, l'équation réduite sera donnée par :

Exemple 2. Trouvez l'équation de l'hyperbole réduite qui a deux foyers avec des coordonnées F2 (0, 10) et un axe imaginaire mesurant 12.
Solution: nous devons
F2(0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6
En utilisant la relation remarquable, on obtient :
10² = le² + 6² → 100 = un² + 36 → un² = 100 - 36 → un² = 64 → a = 8.
Ainsi, l'équation de l'hyperbole réduite sera donnée par :

Exemple 3. Déterminer la distance focale de l'hyperbole avec l'équation
Solution: Puisque l'équation de l'hyperbole est de type  Nous devons
le² = 16 et b² =9
De la relation remarquable que nous obtenons
ç² = 16 + 9 → c² = 25 → c = 5
La distance focale est donnée par 2c. Ainsi,
2c = 2*5 =10
La focale est donc de 10.

Par Marcelo Rigonatto
Spécialiste en statistique et modélisation mathématique
Équipe scolaire du Brésil

Géométrie analytique - Math - École du Brésil