Un polygone est régulier lorsqu'il est convexe et que tous ses côtés et angles ont la même mesure. Par conséquent, un polygone régulier est équilatéral, puisque tous les côtés ont la même longueur, et équiangulaire, puisque tous les angles ont la même mesure.
La définition d'un polygone est une figure fermée et plate formée par des segments de ligne non alignés et non sécants. Ces segments sont les côtés du polygone qui, lorsqu'ils sont réguliers, sont de même longueur.
La rencontre de deux côtés est un sommet et la zone entre les côtés est appelée un angle intérieur, mesuré en degrés. Dans les polygones réguliers, les angles sont congrus.
Un polygone a le même nombre de côtés, de sommets, d'angles intérieurs (ai) et d'angles extérieurs (ae).
Les polygones réguliers sont convexes, équilatéraux et équiangulaires car leurs côtés et leurs angles sont congruents. Les trois conditions doivent être remplies.
Un polygone est convexe lorsque chaque segment relie deux points à l'intérieur, sans qu'aucune partie du segment ne tombe en dehors de la zone du polygone.
Périmètre des polygones réguliers
Le périmètre d'un polygone est la somme des mesures de ses côtés. Comme dans un polygone régulier, tous les côtés ont la même longueur, il suffit de multiplier la longueur d'un côté par le nombre de côtés du polygone.
Où,
P est le périmètre,
n est le nombre de côtés,
L est la longueur des côtés.
Exemple
Le périmètre d'un hexagone régulier de 7 cm de côté est :
angles intérieurs
Un angle intérieur est la région formée entre deux côtés qui se rencontrent en un sommet. Dans un polygone régulier, tous les angles intérieurs sont de même mesure.
De même, si la valeur de la somme des angles est connue, la mesure d'un angle est le total divisé par le nombre d'angles.
Somme des angles intérieurs du polygone
Si la mesure d'un angle intérieur est connue, vous pouvez déterminer la somme des angles intérieurs en multipliant sa valeur par le nombre d'angles.
Où: est la somme des angles intérieurs du polygone ;
est la mesure d'un angle intérieur;
n est le nombre d'angles intérieurs.
Pour déterminer la somme des angles intérieurs d'un polygone sans connaître la mesure d'un angle, on utilise la formule :
Exemple
La somme des angles intérieurs d'un polygone régulier à 6 côtés et la mesure de chaque angle est :
.
La mesure de chaque angle est
.
Apothème d'un polygone régulier
L'apothème d'un polygone régulier est un segment de ligne qui relie le centre du polygone au milieu d'un côté, ce qui en fait un angle de 90°.
De cette manière, l'apothème divise un côté en deux parties égales, étant une bissectrice, car il divise le côté exactement en deux.
Le nombre d'apothèmes d'un polygone est égal à son nombre de côtés. Comme le polygone est régulier, les apothèmes ont la même mesure.
Aire de polygones réguliers
Une façon de calculer l'aire de tout polygone régulier, quel que soit son nombre de côtés, consiste à multiplier son demi-périmètre par son apothème.
Le demi-périmètre est la moitié du périmètre.
Où,
P est le demi-périmètre (périmètre divisé par deux)
La est la mesure de l'apothème.
Exemple
Un hexagone régulier de 4 cm de côté et un apothème cm a pour aire :
Résolution
L'aire peut être calculée comme le produit de l'apothème et du demi-périmètre.
Comme un hexagone a 6 côtés, son périmètre est de 6,4 = 24 cm et son demi-périmètre est de 24/2 = 12 cm.
La zone est donc
En savoir plus sur zone et périmètre.
Exercices de polygones réguliers
Exercice 1
Classer les polygones comme réguliers et non réguliers.
R: pas régulier.
B: pas régulier.
C: régulier.
D: régulier.
E: pas régulier.
F: régulier.
Exercice 2
Trouver la somme des angles intérieurs d'un polygone régulier à 10 côtés et la mesure de chaque angle.
La somme des angles est déterminée par :
Le polygone étant régulier, pour déterminer la mesure des angles, il suffit de diviser le total par 10.
Exercice 3
Trouver l'aire d'un triangle équilatéral dont les côtés sont égaux à cm et apothème égal à 4 cm.
Le périmètre du triangle est: .
Son demi-périmètre vaut:
Son aire est le produit de l'apothème et du demi-périmètre.
Voir plus à:
- polygones
- Classement des triangles
- Superficie et périmètre
- angles
- Zone de polygone
- Exercices sur les polygones
- Somme des angles intérieurs d'un polygone
- Hexagone
- quadrilatères
- parallélogramme
- trapèze
- Rectangle
- Classement des triangles
- exercices de maths 8ème
- exercices de maths 6ème
