La relation d'Euler est une égalité qui relie le nombre de sommets, d'arêtes et de faces dans les polyèdres convexes. Il dit que le nombre de faces plus le nombre de sommets est égal au nombre d'arêtes plus deux.
La relation d'Euler est donnée par :
Où,
F est le nombre de faces,
V le nombre de sommets,
LA le nombre d'arêtes.
On peut utiliser la relation d'Euler pour déterminer ou confirmer des valeurs inconnues de V, F ou A, chaque fois que le polyèdre est convexe.
| Polyèdre | F | V | LA | F+V | A + 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| cube | 6 | 8 | 12 | 6 + 8 = 14 | 12 + 2 = 14 |
| pyramide triangulaire | 4 | 4 | 6 | 4 + 4 = 8 | 6 + 2 = 8 |
| Prisme à base pentagonale | 7 | 10 | 15 | 7 + 10 = 17 | 15 + 2 = 17 |
| octaèdre régulier | 8 | 6 | 12 | 8 + 6 = 14 | 12 + 2 = 14 |
Exemple
Un polyèdre convexe a 20 faces et 12 sommets. Déterminez le nombre d'arêtes.
En utilisant la relation d'Euler et en isolant A :
En substituant les valeurs de F et V :
Faces, sommets et arêtes
Les polyèdres sont des formes géométriques solides en trois dimensions sans côtés arrondis. Ces côtés sont les faces (F) du polyèdre.
La réunion des faces, nous l'appelons arêtes (A).
Les sommets sont les points où trois arêtes ou plus se rencontrent.
polyèdres convexes
Les polyèdres convexes sont des solides géométriques qui ne présentent pas de concavité, par conséquent, sur aucune de leurs faces, il n'y a d'angles internes supérieurs à 180º.
Dans ce polyèdre, l'angle interne marqué en bleu a plus de 180º, donc ce n'est pas un polyèdre convexe.
En savoir plus sur polyèdres.
Exercices sur la relation d'Euler
Exercice 1
Trouver le nombre de faces d'un polyèdre à 9 arêtes et 6 sommets.
Bonne réponse: 5 visages.
En utilisant la relation d'Euler :
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 9 + 2 - 6
F = 11 - 6
F = 5
Exercice 2
Un dodécaèdre est un solide platonicien à 12 faces. Sachant qu'il a 20 sommets, déterminez son nombre d'arêtes.
Bonne réponse:
En utilisant la relation d'Euler :
F + V = A + 2
F + V - 2 = UNE
12 + 20 - 2 = A
32 - 2 = A
30 = UN
Exercice 3
Quel est le nom du polyèdre à 4 sommets et 6 arêtes par rapport à son nombre de faces, où les faces sont des triangles ?
Réponse: Tétraèdre.
Nous devons déterminer son nombre de faces.
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 6 + 2 - 4
F = 8 - 4
F = 4
Un polyèdre qui a 4 faces en forme de triangles s'appelle un tétraèdre.
Qui était Leonhard Paul Euler ?
Leonhard Paul Euler (1707-1783) était l'un des mathématiciens et physiciens les plus compétents de l'histoire, tout en contribuant aux études d'astronomie. Suisse alémanique, il a été professeur de physique à l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg puis à l'Académie de Berlin. Il a publié plusieurs études sur les mathématiques.
Apprenez aussi :
- Solides géométriques
- Géométrie spatiale
- Formes géométriques
- Prisme - Figure géométrique
- Pyramide
- Pavé
- cube
