O théorème de Pythagore indique la longueur des côtés du triangle rectangle. Cette figure géométrique est formée par un angle interne de 90°, appelé angle droit.
L'énoncé de ce théorème est :
"La somme des carrés de vos jambes correspond au carré de votre hypoténuse."
Formule du théorème de Pythagore
Selon l'énoncé du théorème de Pythagore, la formule est représentée comme suit :
le2 = b2 + c2
Étant,
le: hypoténuse
B: catéto
ç: catéto
LES hypoténuse est le côté le plus long d'un triangle rectangle et le côté opposé à l'angle droit. Les deux autres côtés sont les jambes. L'angle formé par ces deux côtés a une mesure égale à 90º (angle droit).
Nous avons également identifié les pattes, selon un angle de référence. C'est-à-dire que le côté peut être appelé côté adjacent ou côté opposé.
Lorsque la jambe est proche de l'angle de référence, elle est appelée adjacent, par contre, s'il est contre cet angle, on l'appelle opposé.
Voici trois exemples d'applications du théorème de Pythagore aux relations métriques d'un triangle rectangle.
Exemple 1: calculer la mesure de l'hypoténuse
Si un triangle rectangle a 3 cm et 4 cm comme mesures des jambes, quelle est l'hypoténuse de ce triangle ?
Par conséquent, les côtés du triangle rectangle mesurent 3 cm, 4 cm et 5 cm.
Exemple 2: calculer la mesure d'une des jambes
Détermine la mesure d'une jambe faisant partie d'un triangle rectangle, dont l'hypoténuse mesure 20 cm et l'autre jambe mesure 16 cm.
Par conséquent, les mesures des côtés du triangle rectangle sont de 12 cm, 16 cm et 20 cm.
Exemple 3: vérifie si un triangle est un rectangle
Un triangle a des côtés mesurant 5 cm, 12 cm et 13 cm. Comment savoir si c'est un triangle rectangle ?
Pour prouver qu'un triangle rectangle est vrai, les mesures de ses côtés doivent obéir au théorème de Pythagore.
Comme les mesures données satisfont au théorème de Pythagore, c'est-à-dire que le carré de l'hypoténuse est égal à la somme du carré des jambes, alors on peut dire que le triangle est un rectangle.
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Triangle de Pythagore
Lorsque mesure les côtés d'un triangle rectangle sont des nombres entiers positifs, le triangle est appelé triangle de Pythagore.
Dans ce cas, les jambes et l'hypoténuse sont appelées "costume pythagoricien" ou "trio pythagoricien". Pour vérifier si trois nombres forment un trio pythagoricien, on utilise la relation à2 = b2 + c2.
Le trio pythagoricien le plus connu est représenté par les nombres: 3, 4, 5. L'hypoténuse étant égale à 5, la grande jambe égale à 4 et la petite jambe égale à 3.
Notez que l'aire des carrés dessinés de chaque côté du triangle sont liés tout comme le Théorème de Pythagore: l'aire du carré du côté long correspond à la somme des aires des deux autres carré.
Fait intéressant, les multiples de ces nombres forment également un costume de Pythagore. Par exemple, si nous multiplions le trio 3, 4 et 5 par 3, nous obtenons les nombres 9, 12 et 15 qui forment également un costume de Pythagore.
En plus des combinaisons 3, 4 et 5, il existe une multitude d'autres combinaisons. A titre d'exemple, on peut citer :
- 5, 12 et 13
- 7, 24, 25
- 20, 21 et 29
- 12, 35 et 37
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Qui était Pythagore ?
selon l'histoire Pythagore de Samos (570 a. Ç. - 495 a. C.) était un philosophe et mathématicien grec qui a fondé l'école pythagoricienne, située dans le sud de l'Italie. Également appelée Société pythagoricienne, elle comprenait des études de mathématiques, d'astronomie et de musique.
Bien que les relations métriques du triangle rectangle étaient déjà connues des Babyloniens, qui vivaient bien avant Pythagore, la première preuve que ce théorème appliqué à tout triangle rectangle est censé avoir été faite par Pythagoras.
Le théorème de Pythagore est l'un des théorèmes les plus connus, les plus importants et les plus utilisés en mathématiques. Il est essentiel pour résoudre des problèmes de géométrie analytique, de géométrie plane, de géométrie spatiale et de trigonométrie.
En plus du théorème, d'autres contributions importantes de la Pythagoreian Society for Mathematics étaient :
- Découverte des nombres irrationnels ;
- Propriétés des nombres entiers ;
- MMC et MDC.
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Preuves du théorème de Pythagore
Il existe plusieurs manières de prouver le théorème de Pythagore. Par exemple, le livre La proposition pythagoricienne, publié en 1927, a présenté 230 façons de le démontrer, et une autre édition, publiée en 1940, est passée à 370 démonstrations.
Regardez la vidéo ci-dessous et découvrez quelques démonstrations du théorème de Pythagore.
Exercices commentés sur le théorème de Pythagore
question 1
(PUC) La somme des carrés des trois côtés d'un triangle rectangle est égale à 32. Quelle est la longueur de l'hypoténuse du triangle ?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
Alternative correcte: b) 4.
D'après les informations contenues dans la déclaration, nous savons que le2 + b2 + c2 = 32. D'autre part, par le théorème de Pythagore, nous devons2 = b2 + c2 .
Remplacement de la valeur de b2+c2 par le2 dans la première expression, on trouve :
le2 + le2 =32 ⇒ 2. le2 = 32 à2 = 32/2 à2 = 16 a = 16
a=4
Pour plus de questions, voir: Théorème de Pythagore - Exercices
question 2
(Et non plus)
Dans la figure ci-dessus, qui représente la conception d'un escalier à 5 marches de même hauteur, la longueur totale de la main courante est égale à :
a) 1,9 m
b) 2,1 m
c) 2,0 m
d) 1,8 m
e) 2,2 m
Alternative correcte: b) 2,1 m.
La longueur totale de la main courante sera égale à la somme des deux tronçons de longueur égale à 30 cm avec le tronçon dont on ne connaît pas la mesure.
On peut observer sur la figure que la section inconnue représente l'hypoténuse d'un triangle rectangle, dont la mesure d'une des jambes est égale à 90 cm.
Pour trouver la mesure de l'autre jambe, il faut additionner la longueur des 5 marches. On a donc b = 5. 24 = 120cm.
Pour calculer l'hypoténuse, appliquons le théorème de Pythagore à ce triangle.
le2 = 902 + 1202 à2 = 8100 + 14 400 à2 = 22 500 a = √ 22 500 = 150 cm
Notez que nous aurions pu utiliser l'idée des combinaisons pythagoriciennes pour calculer l'hypoténuse, puisque les jambes (90 et 120) sont des multiples de la couleur 3, 4 et 5 (multipliant tous les termes par 30).
De cette façon, la mesure totale de la main courante sera :
30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 m
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question 3
(UERJ) Millôr Fernandes, dans un bel hommage aux Mathématiques, a écrit un poème dont on extrait le fragment ci-dessous :
A tant de feuilles d'un livre de Mathématiques,
un Quotient est tombé amoureux un jour follement
par un inconnu.
Il la regarda de ses innombrables regards
et il la vit du sommet à la base: une figure étrange ;
yeux rhomboïdes, bouche trapézoïdale,
corps rectangulaire, seins sphéroïdes.
A rendu ta vie parallèle à la sienne,
jusqu'à ce qu'ils se rencontrent à Infinity.
"Qui es-tu?" - Il a demandé dans une anxiété radicale.
« Je suis la somme des carrés des jambes.
Mais tu peux m'appeler hypoténuse.”
(Millôr Fernandes. Trente ans de moi-même.)
Incognita avait tort de dire qui c'était. Pour rencontrer le théorème de Pythagore, il faut faire ce qui suit
a) « Je suis le carré de la somme des jambes. Mais vous pouvez m'appeler le carré de l'hypoténuse.
b) « Je suis la somme des jambes. Mais vous pouvez m'appeler hypoténuse.
c) « Je suis le carré de la somme des jambes. Mais vous pouvez m'appeler hypoténuse.
d) « Je suis la somme des carrés des jambes. Mais vous pouvez m'appeler le carré de l'hypoténuse.
Alternative d) « Je suis la somme des carrés des jambes. Mais vous pouvez m'appeler le carré de l'hypoténuse.
En savoir plus sur le sujet:
- triangle isocèle
- Sinus, cosinus et tangente
- Mathématiques à Enem
