Somme des angles intérieurs d'un polygone

La somme des angles intérieurs d'un polygone convexe peut être déterminée connaissant le nombre de côtés (n), en soustrayant simplement cette valeur par deux (n - 2) et en multipliant par 180°.

Un polygone est une surface fermée formée par une ligne polygonale, c'est-à-dire que les côtés sont des lignes droites et que la rencontre entre deux côtés forme un angle. Dans le cas où le polygone est convexe, tous les angles intérieurs sont inférieurs à 180°.

Somme des angles intérieurs d'un polygone convexe

Pour additionner les angles intérieurs d'un polygone convexe, soit on connaît les valeurs de tous les angles et les additionne, soit on peut déterminer la somme en connaissant le nombre de côtés de ce polygone.

Connaître les côtés totaux d'un polygone est, dans de nombreux cas, une information plus facile à obtenir que les valeurs de chaque angle.

Formule pour la somme des angles intérieurs d'un polygone

Pour déterminer la somme des angles intérieurs d'un polygone convexe ne connaissant que le nombre de côtés, on utilise la formule :

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style de départ taille mathématique 18px droite S avec droite i indice égal à 180 degrés signe de multiplication parenthèse gauche droite n moins 2 parenthèses extrémité droite du style

Où,
oui est la somme, le total des degrés de tous les angles.
non est le nombre de côtés.

Exemple
La somme des angles intérieurs d'un quadrilatère est :

Comme un quadrilatère a 4 côtés, n est égal à 4.

style de démarrage taille mathématique 14px droite S avec droite i indice égal à 180 degrés signe espace signe de multiplication espace gauche parenthèse droite n moins 2 parenthèse droite S avec un i droit indice égal à 180 degrés espace de signe espace de signe de multiplication parenthèse gauche 4 moins 2 parenthèses droit droit S avec droit i indice égal à 180 degrés signe espace signe de multiplication espace 2 droit S avec droit i indice égal à 360 degrés signe fin de la classe

Somme des angles intérieurs d'un polygone régulier

La somme des angles intérieurs d'un polygone régulier se calcule de la même manière. Un polygone est régulier lorsque tous les côtés et angles sont égaux. Le nombre d'angles est toujours égal au nombre de côtés.

Angle intérieur d'un polygone régulier

Comme tous les angles ont la même mesure, il suffit de diviser la somme des angles intérieurs par le nombre d'angles, donc le nombre de côtés.

droite a avec droite i indice égale droite S avec droite i indice sur droite n

Où,
Si est la somme, le total des degrés de tous les angles.
n est le nombre de côtés.

Exemple
La mesure des angles intérieurs d'un pentagone régulier est :

Nous déterminons d'abord la somme de ses angles intérieurs en utilisant n = 5.

Erreur lors de la conversion de MathML en texte accessible.

Maintenant, il suffit de diviser par le nombre de côtés.

$droite a avec droite i indice égale droite S avec droite i indice sur droite n égal numérateur 540 degrés signe sur dénominateur 5 fin de fraction égale à 108 degrés signe$

Nom des polygones basé sur les côtés

Nommez quelques polygones en fonction du nombre de côtés.

nombre de côtés	Nom
3	Triangle
4	quadrilatère
5	Pentagone
6	Hexagone
7	Heptagone
8	Octogone
9	enagon
10	Décagone
11	undécagone
12	Dodécagone
20	icosagone

Déduction de la formule de la somme des angles intérieurs d'un polygone

Nous partons du principe que chaque triangle a 180° comme somme de ses angles intérieurs.

À partir de n'importe quel sommet d'un polygone convexe, nous pouvons tracer des diagonales et former des triangles.

déduction de la formule — Polygone divisé en quatre triangles.

Puisque la somme des angles intérieurs de chaque triangle est égale à 180°, multipliez simplement le nombre de triangles formés par 180°.

droite S avec droite i indice égal à 180 degrés espace signe signe de multiplication espace droit n espace des triangles spatiaux.

Nous pouvons voir que le nombre de triangles formés est toujours égal au nombre de côtés moins 2.

Pour un triangle, n = 3.
parenthèse gauche n moins 2 parenthèse droite espace égal à espace parenthèse gauche 3 moins 2 parenthèse droite espace égal à espace 1

Pour un quadrilatère, n = 4.

Somme des angles intérieurs d'un parallélogramme.
Il y a 2 triangles :
parenthèse gauche n moins 2 parenthèse droite espace égal à espace parenthèse gauche 4 moins 2 parenthèse droite égal à espace 2

Pour un pentagone, n = 5.

Pentagone
Il y a 3 triangles :
parenthèse gauche n moins 2 parenthèse droite espace égal à espace parenthèse gauche 5 moins 2 parenthèse droite espace égal à espace 3

De cette façon, nous pouvons généraliser et remplacer le terme nombre de triangles par (n-2) et la formule ressemble à ceci :

en savoir plus sur polygones et angles.

Des exercices

Exercice 1

Trouver la somme des angles intérieurs d'un polygone convexe à 17 côtés.

voir la réponse

Réponse: 2 700º

style de démarrage taille mathématique 16px droite S avec droite i indice égal à 180 degrés signe de multiplication parenthèse gauche droite n moins 2 crochet droit S avec i droit indice égal signe de 180 degrés signe de multiplication crochet gauche 17 moins 2 crochet droit S avec i droit indice égal signe 180 degrés signe de multiplication espace 15 S droit avec i droit indice égal 2 espace signe 700 degrés fin de style

Exercice 2

Comment s'appelle un polygone dont la somme des angles intérieurs est de 1440° ?

voir la réponse

Réponse: Le polygone dont la somme des angles intérieurs est de 1440° s'appelle un décagone et a 10 côtés.

$S droit avec i droit indice égal à 180 degrés signe de multiplication parenthèse gauche droite n moins 2 parenthèse droite 1 espace signe à 440 degrés égal à 180 signe de degré signe de multiplication espace parenthèse gauche droite n moins 2 parenthèse numérateur droit 1 espace signe de 440 degrés sur le dénominateur signe de 180 degrés la fin de la fraction est égale à droite n moins 2 8 l'espace est égal à l'espace droit n l'espace moins l'espace 2 8 l'espace plus l'espace 2 l'espace est égal à l'espace droit n 10 l'espace est égal à l'espace tout droit n$

Exercice 3

Trouver la valeur des angles intérieurs d'un octogone régulier.

voir la réponse

Réponse: Dans un octogone régulier, chaque angle intérieur mesure 135°.

Il faut d'abord déterminer la somme des angles intérieurs d'un octogone. Comme il a huit côtés, n = 8.

S droit avec i droit indice égal à 180 degrés signe de multiplication signe de multiplication parenthèse gauche n droit moins 2 parenthèse droite S droit avec i droit indice égal à 180 degrés signe de multiplication parenthèse gauche 8 moins 2 parenthèse droite S droit avec i droit indice égal à 180 degrés signe de multiplication espace 6 droit S avec droit i indice égal à 1 espace 080 signe de degré

Comme le polygone est régulier, tous les angles intérieurs ont la même mesure, et il suffit de diviser le total par 8.

$droite a avec droite i en indice égale droite S avec droite i en indice sur droite n égale numérateur 1 espace 080 sur dénominateur 8 fin de la fraction égale au signe 135 degrés$