Géométrie analytique: principaux concepts et formules

La géométrie analytique étudie les éléments géométriques dans un système de coordonnées dans un plan ou un espace. Ces objets géométriques sont déterminés par leur emplacement et leur position par rapport aux points et axes de ce système d'orientation.

Depuis les peuples anciens, comme les Égyptiens et les Romains, l'idée de coordonnées est déjà apparue dans l'histoire. Mais c'est au XVIIe siècle, avec les travaux de René Descartes et Pierre de Fermat, que ce domaine des Mathématiques s'est systématisé.

Système orthogonal cartésien

Le système cartésien orthogonal est une base de référence pour la localisation des coordonnées. Il est constitué, dans un plan, de deux axes perpendiculaires entre eux.

L'origine O(0,0) de ce système est l'intersection de ces axes.
L'axe des x est l'abscisse.
L'axe des y est l'ordonnée.
Les quatre quadrants sont orientés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

paire ordonnée

Tout point du plan a pour coordonnées P(x, y).

x est l'abscisse du point P et constitue la distance de sa projection orthogonale sur l'axe des x à l'origine.

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y est l'ordonnée du point P et est la distance de sa projection orthogonale sur l'axe y à l'origine.

distance entre deux points

La distance entre deux points sur le plan cartésien est la longueur du segment joignant ces deux points.

Formule de distance entre deux points droit Une parenthèse gauche droite x avec un indice droit une virgule espace droit y avec un indice droit Une parenthèse droite et B droit entre parenthèses droites x avec un indice B droit virgule espace droit y avec un espace B droit en indice fermer des parenthèses tout.

style de départ taille mathématique 22px d droit avec indice AB est égal à la racine carrée de la parenthèse gauche x droit avec indice B droit moins x droit avec indice A droit parenthèse carrée droite plus parenthèse gauche droite y avec indice B droit moins y droite avec indice A droite parenthèse carrée droite fin de la racine fin de style

Coordonnées du milieu

Le milieu est le point qui divise un segment en deux parties égales.

Étant M ouvre les parenthèses x avec M indice virgule espace y avec M indice ferme les parenthèses le milieu d'un segment empiler A B avec la barre au-dessus , ses coordonnées sont les moyennes arithmétiques des abscisses et des ordonnées.

$style de début taille mathématique 22px x avec indice M droit égal au numérateur x droit avec indice B droit plus x droit avec indice A droit sur dénominateur 2 fin de fraction fin de style$ et $style de début taille mathématique 22px y droit avec indice M droit égal au numérateur y droit avec indice B droit plus y droit avec indice A droit sur le dénominateur 2 fin de fraction fin de style$

Condition d'alignement en trois points

Compte tenu des points: .

Ces trois points seront alignés si le déterminant de la matrice suivante est égal à zéro.

style de début taille mathématique 22px espace det crochets ouverts ligne de tableau avec cellule avec x droit avec indice A fin de cellule cellule avec y droit avec A droit fin de cellule indice 1 ligne avec cellule avec x droit avec indice B droit fin de cellule cellule avec y droit avec indice B droit fin de cellule 1 rangée avec cellule avec x droit avec indice C droit fin de cellule cellule avec y droit avec indice C droit fin de cellule 1 fin du tableau ferme les crochets espace égal à l'espace 0 fin du style

Exemple

Coefficient angulaire d'une ligne

la pente, la descente droit m d'une droite est la tangente de sa pente alpha par rapport à l'axe des x.

début de style math taille 22px m droit espace égal à l'espace tg espace droit alpha fin du style

Pour obtenir la pente à partir de deux points :

$style de départ taille mathématique 22px m droit égal au numérateur y droit avec indice B droit moins y droit avec A droit indice sur dénominateur droit x avec droit B indice moins x droit avec droit A indice fin de fraction fin de style$

Si m > 0, la ligne est ascendante, sinon, si m < 0, la ligne est descendante.

équation générale de la droite

Où Les,B et ç sont des nombres réels constants et, Les et B ils ne sont pas simultanément nuls.

Exemple

Equation de droite connaissant un point et la pente

donné un point droite A ouvre les parenthèses droite x avec 0 indice virgule droite espace y avec 0 indice ferme les parenthèses et la pente droit m .

L'équation de la droite sera :

début du style math taille 22px droit y moins droit y avec 0 indice égal droit m parenthèse gauche droite x moins droit x avec 0 indice parenthèse droite fin du style

Exemple

Forme réduite de l'équation droite

début de style math taille 22px droit y est égal à mx droit n fin du style

Où:
m est la pente ;
n est le coefficient linéaire.

non est ordonné à l'endroit où la ligne coupe l'axe y.

Exemple

Voir Équation de ligne.

Position relative entre deux droites parallèles dans un plan

Deux droites distinctes sont parallèles lorsque leurs pentes sont égales.

si une droite r a une pente m droit avec indice r droit , et une ligne droite s a une pente m droit avec indice s droit , ceux-ci sont parallèles lorsque :

début de style math taille 22px m droit avec indice r droit est égal à m droit avec indice s droit fin du style

Pour cela, vos inclinations doivent être égales.

m avec indice s égal à t g espace alpha avec s espace indice fin de l'indice m avec indice r égal à t g espace alpha avec r espace indice fin de l'indice

Les tangentes sont égales lorsque les angles sont égaux.

Position relative entre deux droites concurrentes dans un plan

Deux droites sont concurrentes lorsque leurs pentes sont différentes.

Erreur lors de la conversion de MathML en texte accessible.

A leur tour, les pentes diffèrent lorsque leurs angles d'inclinaison par rapport à l'axe x sont différents.

alpha avec indice r différent de l'alpha avec indice s

les lignes perpendiculaire

Deux restes sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs pentes est égal à -1.

deux lignes droites r et s, distinct, avec des pentes m avec indice r et m avec s abonné , sont perpendiculaires si et seulement si :

start style math taille 22px m droit avec indice r droit. m droit avec indice s est égal à moins 1 fin de style

début du style math taille 22px m droit avec indice r droit égal à moins 1 sur m droit avec indice s droit fin du style

Une autre façon de savoir si deux droites sont perpendiculaires consiste à utiliser leurs équations sous leur forme générale.

Les équations des droites r et s étant :

r deux-points un espace avec r indice x plus b avec r indice y plus espace c avec r indice espace s deux-points un espace avec s indice x plus b avec s indice y plus c avec s indice

Deux droites qui lui sont perpendiculaires lorsque :

start style math size 22px straight a with straight r subscript. droit a avec indice s droit plus b droit avec indice r droit. b droit avec indice s droit égal à 0 fin de style

Voir Les lignes perpendiculaire.

Circonférence

La circonférence est le lieu sur le plan où tous les points P(x, y) sont à la même distance r de son centre C(a, b), où r est la mesure du rayon.

Équation de circonférence sous forme réduite

style de départ taille mathématique 22px crochets ouverts x moins droit un crochets fermés plus la parenthèse ouverte y moins la droite b ferme la parenthèse carrée égale à la droite r carré fin de style

Où:
r est le rayon, la distance entre n'importe quel point de votre arc et le centre. Ç.
Les et B sont les coordonnées du centre Ç.

équation générale du cercle

début style math taille 22px droit x au carré plus droit y au carré moins 2 hache moins 2 par plus ouvert parenthèses droites a au carré plus droite b au carré moins droite r au carré ferme les parenthèses égales à 0 fin de style

Il est obtenu en développant les termes au carré de l'équation réduite de la circonférence.

Il est très courant de montrer la forme générale de l'équation de circonférence dans les exercices, également connue sous le nom de forme normale.

conique

Le mot conique vient d'un cône et fait référence aux courbes obtenues en le sectionnant. L'ellipse, l'hyperbole et la parabole sont des courbes appelées coniques.

Ellipse

L'ellipse est une courbe fermée obtenue en sectionnant un cône circulaire rectiligne par un plan oblique à l'axe, qui ne passe pas par le sommet et n'est pas parallèle à ses génératrices.

Dans un plan, ensemble de tous les points dont la somme des distances à deux points fixes internes est constante.

Éléments d'ellipse :

F1 et F2 sont les foyers de l'ellipse ;
2c est la distance focale de l'ellipse. C'est la distance entre F1 et F2 ;
Le point O c'est le centre de l'ellipse. C'est le point médian entre F1 et F2 ;
A1 et A2 sont les sommets de l'ellipse ;
le segment grand axe et égal à 2a.
le segment le petit axe est égal à 2b.
Excentricité où 0 < et < 1.

Équation d'ellipse réduite

Considérons un point P(x, y) contenu dans l'ellipse où x est l'abscisse et y est l'ordonnée de ce point.

Centre de l'ellipse à l'origine du système de coordonnées et grand axe (AA) sur l'axe des x.

début de style math taille 22px droit x au carré sur droit un carré plus droit y au carré sur droit b au carré équivaut à 1 fin de style

Centre de l'ellipse à l'origine du système de coordonnées et grand axe (AA) sur l'axe y.

style de départ taille mathématique 22px x droit au carré sur droit b au carré plus droit y au carré sur droit un carré équivaut à 1 fin de style

Équation réduite de l'ellipse avec des axes parallèles aux axes de coordonnées

considérer un point droite Parenthèse gauche droite x avec 0 indice virgule espace droit y avec 0 indice parenthèse droite comme origine du système cartésien et, un point droit C parenthèse gauche droite x avec 0 indice virgule espace droit y avec 0 indice parenthèse droite comme centre de l'ellipse.

AA grand axe, parallèle à l'axe x.

style de départ taille mathématique 22px parenthèse gauche droite x moins droite x avec 0 indice parenthèse droite au carré sur la droite a ao carré plus parenthèse gauche droite y moins droite y avec 0 indice parenthèse droite au carré sur b droite au carré égal à 1 extrémité de style

Grand axe AA, parallèle à l'axe y.

Hyperbole

L'hyperbole est un ensemble de points sur un plan où la différence entre deux points fixes F1 et F2 donne une valeur constante et positive.

Éléments d'hyperbole :

F1 et F2 sont les foyers d'hyperbole.
2c = est la distance focale.
Le centre de l'hyperbole est le point , Moyenne du segment F1F2.
A1 et A2 sont les sommets.
2a = A1A2 est l'axe réel ou transversal.
2b = B1B2 est l'axe imaginaire ou conjugué.
est l'excentricité.

Par le triangle B1OA2

droit c au carré égal droit a au carré plus droit b au carré

Équation réduite de l'hyperbole

Avec axe réel autour de l'axe x et centre à l'origine.
style de départ taille mathématique 22px droit x au carré sur droit un carré moins droit y au carré sur droit b au carré équivaut à 1 fin de style

Avec axe réel sur l'axe y et centre à l'origine.

Équation d'hyperbole avec des axes parallèles aux axes de coordonnées

AA axe réel parallèle à l'axe x et au centre droite C parenthèse gauche droite x avec 0 indice virgule droite y avec 0 indice parenthèse droite .

Axe réel AA parallèle à l'axe y et au centre droite C parenthèse gauche droite x avec 0 indice virgule droite y avec 0 indice parenthèse droite .

style de départ taille mathématique 22px parenthèse gauche droite y moins y droite avec 0 indice parenthèse droite au carré sur la droite a ao carré moins parenthèse gauche droite x moins droite x avec 0 indice parenthèse droite au carré sur b droite au carré égal à 1 extrémité de style

Parabole

La parabole est le lieu où l'ensemble des points P(x, y) sont à la même distance d'un point fixe F et d'une droite d.

Éléments de la parabole :

F est le centre de la parabole ;
d est la ligne directrice droite ;
L'axe de symétrie est la droite passant par le foyer F et perpendiculaire à la ligne directrice.
V est le sommet de la parabole.
p est le segment de même longueur entre le foyer F et le sommet V e, entre le sommet et la directive d.