L'hexagone est un polygone à six côtés et six sommets, il a donc six angles. L'hexagone est une figure plate, a deux dimensions, formée par une ligne polygonale fermée et simple, qui ne se coupe pas.
Les six côtés de l'hexagone sont des lignes droites, reliées en séquence par les sommets qui délimitent une région intérieure.
L'hexagone apparaît dans de nombreuses formations dans la nature, telles que les ruches, les cristaux de glace ou encore la chimie organique dans les structures de carbones et autres atomes.
En architecture et en ingénierie, les hexagones sont utilisés comme éléments structurels et décoratifs, dans les vis et les clés, pour paver les routes et autres services publics.
Le mot hexagone vient de la langue grecque, où hexagone fait référence au nombre six et gonia fait référence à l'angle. Donc une figure à six angles.
Éléments d'hexagones
A, B, C, D, E et F sont les sommets de l'hexagone.
les segments sont les côtés de l'hexagone.
sont les angles intérieurs.
sont les angles extérieurs.
d sont les diagonales.
Types d'hexagones
Les hexagones sont classés en réguliers et irréguliers, convexes et non convexes, selon les mesures de leurs côtés et de leurs angles.
Hexagones irréguliers
Les hexagones irréguliers ont des côtés et des angles de tailles différentes. Ils sont divisés en deux groupes: convexes et non convexes.
Irréguliers convexes
Dans les hexagones convexes, les diagonales ont tous leurs points dans l'aire du polygone et aucun angle n'est supérieur à 180°.
Irréguliers non convexes
Dans les hexagones non convexes, il existe des diagonales qui ont des points en dehors de l'aire du polygone et ont des angles supérieurs à 180°.
hexagones réguliers
Les hexagones réguliers ont six côtés et des angles de même mesure, ils sont donc équilatéraux et équiangles.
Tous les hexagones réguliers sont convexes, car aucune diagonale ne passe à l'extérieur du polygone.
Un hexagone régulier est une composition de six triangles équilatéraux.
Les triangles équilatéraux sont ceux qui ont les trois côtés et les angles de la même mesure.
aire hexagonale régulière
L'aire de l'hexagone est calculée à l'aide de la formule :
Puisque L est la mesure du côté de l'hexagone, l'aire ne dépend que de L.
Lire la suite sur zone hexagonale.
Périmètre de l'hexagone régulier
Le périmètre de l'hexagone est la mesure du côté multipliée par six.
Hexagone Apothème
L'Hexagon Apothema est un segment de ligne qui relie le milieu d'un côté au centre de l'hexagone.
L'apothème de l'hexagone régulier se calcule par :
Angles internes des hexagones réguliers
La mesure des angles internes d'un hexagone régulier est de 120°.
La somme de leurs angles internes est de 720°.
120° x 6 = 720°
Angles externes des hexagones réguliers
La mesure des angles extérieurs d'un hexagone régulier est de 60°.
La formule pour mesurer les angles extérieurs d'un polygone régulier est :
Où est la mesure des angles extérieurs et n est le nombre de côtés.
Si n=6 dans les hexagones, on a :
Une autre façon de connaître la mesure des angles externes consiste à utiliser la paire d'angles internes et externes, car ils totalisent 180°, étant supplémentaires.
Puisque l'angle intérieur est de 120°, il suffit de soustraire pour déterminer combien de degrés il reste à 180°.
180° - 120° = 60°
nombre de diagonales
L'hexagone a 9 diagonales.
Il existe deux manières de déterminer le nombre de diagonales :
1ère façon - compter.
2ème voie - à travers la formule des diagonales d'un polygone.
Où n est le nombre de côtés du polygone. Si n=6 dans l'hexagone, on a :
Hexagone inscrit sur un cercle
Un hexagone inscrit sur un cercle est à l'intérieur du cercle et ses sommets sont sur le cercle.
Comme le triangle AOB de la figure est équilatéral, les mesures du rayon du cercle et du côté de l'hexagone sont égales.
Hexagone circonscrit à un cercle
Un hexagone est circonscrit à un cercle lorsque le cercle est à l'intérieur de l'hexagone.
La circonférence est tangente aux côtés de l'hexagone.
Le rayon du cercle est égal à l'apothème de l'hexagone. En remplacement, nous avons :
Puis
carrelage
Le carrelage ou la tessellation est la pratique consistant à recouvrir une surface de formes géométriques.
Les hexagones réguliers sont parmi les rares polygones qui remplissent complètement une surface.
Pour qu'un polygone régulier puisse être carrelé, c'est-à-dire remplir une surface sans laisser de vide, la condition géométrique suivante doit être satisfaite :
Les angles internes d'un hexagone régulier mesurent 120°. Dans le pavage d'hexagones, nous remarquons que trois hexagones se rencontrent à un sommet. Ainsi, nous avons :
120° + 120° + 120° = 360°
Exercice 1
(Enem 2021) Un étudiant, habitant de la ville de Contagem, a entendu dire que dans cette ville il y a des rues qui forment un hexagone régulier. Lors d'une recherche sur un site cartographique, il a constaté que le fait est vrai, comme le montre la figure.
Disponible sur: www.google.com. Consulté le: 7 décembre. 2017 (adapté).
Il a noté que la carte affichée sur l'écran de l'ordinateur était à l'échelle 1:20 000. A ce moment, il a mesuré la longueur d'un des segments qui forment les côtés de cet hexagone, trouvant 5 cm.
Si cet élève décide de faire le tour complet des rues qui forment cet hexagone, il parcourra, en kilomètre,
à 1.
b) 4.
c) 6.
d) 20.
e) 24.
Bonne réponse: c) 6.
Le périmètre de l'hexagone est :
P = 6.L
Comme le côté mesure 5 cm, on a P = 6,5 = 30 cm
Selon l'échelle, chaque 1 cm sur la carte équivaut à 20 000 cm dans la mesure réelle.
Comme le parcours sera de 30 cm, nous avons :
30 x 20 000 = 600 000 cm
pour le transformer en Km, on divise par 100 000.
600 000 / 100 000 = 6
Par conséquent, l'élève parcourra 6 km.
Exercice 2
(EEAR 2013) Soit un hexagone régulier et un triangle équilatéral, tous deux de côté l. Le rapport entre les apothèmes de l'hexagone et du triangle est
a) 4.
b) 3.
c) 2.
d) 1.
Bonne réponse: b) 3.
L'apothème de l'hexagone est :
L'apothème du triangle est :
Le rapport entre les apothèmes de l'hexagone et du triangle est :
Le rapport est égal à 3.
Exercice 3
(CBM-PR 2010) Considérons un panneau de signalisation en forme d'hexagone régulier avec des côtés de 1 centimètre. On sait qu'un hexagone régulier à l côtés est formé de six triangles équilatéraux à l côtés. Comme la lecture de ce signe (plaque) dépend de l'aire A du signe, on a que A, en fonction de la longueur l, est donné par :
Les)
B)
ç)
ré)
et)
Bonne réponse: b)
L'aire d'un triangle équilatéral est égale à
Dans le cas de l'hexagone, la base est égale au côté, remplaçons donc b par L.
La hauteur du triangle est égale à l'apothème de l'hexagone et peut être déterminée par le théorème de Pythagore.
Revenons à la formule du triangle.
Puisque l'aire de l'hexagone est égale à six triangles, nous multiplions l'aire que nous avons calculée par six.
Comme la mesure de la plaque est en centimètres, la surface sera mesurée en cm².
De cette façon, nous avons :
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