Distance entre deux points

La distance entre deux points est la mesure du segment de droite qui les relie.

Nous pouvons calculer cette mesure en utilisant la géométrie analytique.

Distance entre deux points du plan

Dans le plan, un point est entièrement déterminé connaissant un couple ordonné (x, y) qui lui est associé.

Pour connaître la distance entre deux points, nous allons d'abord les représenter dans le plan cartésien, puis calculer cette distance.

Exemples:

1) Quelle est la distance entre le point A (1.1) et le point B (3.1) ?

d (A, B) = 3 - 1 = 2

2) Quelle est la distance entre le point A (4.1) et le point B (1,3) ?

Notez que la distance entre le point A et le point B est égale à l'hypoténuse du triangle rectangle avec les jambes 2 et 3.

Ainsi, nous utiliserons le théorème de Pythagore pour calculer la distance entre les points donnés.

[touche)]² = 3² + 2² = √13

Formule de la distance entre deux points du plan

Pour trouver la formule de distance, on peut généraliser le calcul fait dans l'exemple 2.

Pour deux points quelconques, tels que A(x₁aa₁) et B (x₂oui₂), on a:

Pour en savoir plus, lisez aussi :

• Géométrie plane
• Plan cartésien
• droit

Distance entre deux points dans l'espace

Nous utilisons un système de coordonnées tridimensionnel pour représenter des points dans l'espace.

Un point est entièrement déterminé dans l'espace lorsqu'un triplet ordonné (x, y, z) lui est associé.

Pour trouver la distance entre deux points dans l'espace, nous pouvons d'abord les représenter dans le système de coordonnées et à partir de là, effectuer les calculs.

Exemple:

Quelle est la distance entre le point A (3,1.0) et le point B (1,2.0) ?

Dans cet exemple, nous voyons que les points A et B appartiennent au plan xy.

La distance sera donnée par :

[touche)]² = 1² + 2² = √5

Formule de la distance entre deux points dans l'espace

Pour en savoir plus, lisez aussi :

• Géométrie spatiale
• Équation de ligne
• Formules mathématiques

Exercices résolus

1) Un point A appartient à l'axe des abscisses (axe des x) et est équidistant des points B (3.2) et C (-3.4). Quelles sont les coordonnées du point A ?

Voir la réponse

Comme le point A appartient à l'axe des abscisses, alors sa coordonnée est (a, 0). Il faut donc trouver la valeur de a.

(0 - 3)² + (à - 2)² = (0 + 3)² + (à -4)²
9 + ಠ- 4a +4 = 9 + a² - 8e + 16e
4ème = 12
a = 3
(3.0) sont les coordonnées du point A.

2) La distance du point A (3,a) au point B (0,2) est égale à 3. Calculer la valeur d'ordonnée a.

Voir la réponse

3² = (0 - 3)² + (2 - un)²
9 = 9 + 4 - 4a +a²
le² - 4ème +4 = 0
a = 2

3) ENEM - 2013

Ces dernières années, la télévision a connu une véritable révolution, en termes de qualité d'image, de son et d'interactivité avec le téléspectateur. Cette transformation est due à la conversion du signal analogique en signal numérique. Cependant, de nombreuses villes ne disposent toujours pas de cette nouvelle technologie. Cherchant à apporter ces avantages à trois villes, une chaîne de télévision a l'intention de construire une nouvelle tour de transmission, qui envoie un signal aux antennes A, B et C, qui existent déjà dans ces villes. Les emplacements des antennes sont représentés dans le plan cartésien :

La tour doit être située à un emplacement équidistant des trois antennes. L'endroit approprié pour la construction de cette tour correspond au point de coordonnées

a) (65; 35)
b) (53; 30)
c) (45; 35)
d) (50; 20)
e) (50; 30)

Voir la réponse

Alternative correcte e: (50;30)

Voir aussi: distance entre deux points exercices

4) ENEM - 2011

Un quartier d'une ville a été planifié dans une région plate, avec des rues parallèles et perpendiculaires, délimitant des îlots de même taille. Dans le plan de coordonnées cartésiennes suivant, ce voisinage est situé dans le deuxième quadrant, et les distances dans le
les axes sont donnés en kilomètres.

La droite d'équation y = x + 4 représente la planification du tracé de la ligne de métro souterraine qui traversera le quartier et d'autres régions de la ville.
Au point P = (-5,5), un hôpital public est situé. La communauté a demandé au comité de planification de planifier une station de métro de sorte que sa distance à l'hôpital, mesurée en ligne droite, ne dépasse pas 5 km.
En réponse à la demande de la communauté, le comité a fait valoir à juste titre que cela serait automatiquement satisfait, car la construction d'une station à cet endroit était déjà prévue.

a) (-5,0)
b) (-3,1)
c) (-2,1)
d) (0,4)
e) (2.6)

Voir la réponse

Corriger l'alternative b: (-3.1).

Voir aussi: exercices de géométrie analytique