Loi du cosinus: application, exemples et exercices

LES Loi du cosinus est utilisé pour calculer la mesure d'un côté ou d'un angle inconnu de n'importe quel triangle, connaissant ses autres mesures.

Énoncé et formules

Le théorème du cosinus dit que :

"Dans tout triangle, le carré d'un côté est la somme des carrés des deux autres côtés, moins deux fois le produit de ces deux côtés par le cosinus de l'angle qui les sépare.."

Ainsi, par la loi des cosinus, nous avons les relations suivantes entre les côtés et les angles d'un triangle :

Exemples

1. Deux côtés d'un triangle mesurent 20 cm et 12 cm et forment entre eux un angle de 120°. Calculer la mesure du troisième côté.

Solution

Pour calculer la mesure du troisième côté, nous utiliserons la loi des cosinus. Pour cela, considérons :

b = 20 cm
c = 12 cm
cos α = cos 120º = - 0,5 (valeur trouvée dans les tables trigonométriques).

Remplacement de ces valeurs dans la formule :

le² = 20² + 12² - 2. 20. 12. (- 0,5)
le² = 400 + 144 + 240
le² = 784
a = 784
a = 28 cm

Donc le troisième côté mesure 28cm.

2. Déterminez la mesure du côté AC et la mesure de l'angle avec le sommet en A à partir de la figure suivante :

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Tout d'abord, déterminons AC = b :

B² = 8²+ 10² – 2. 8. 10. cos 50e
B² = 164 – 160. cos 50e
B² = 164 – 160. 0,64279
b 7,82

Maintenant, déterminons la mesure de l'angle par la loi des cosinus :

8² = 10² + 7,82²– 2. 10. 7,82. car
64 = 161,1524 – 156,4 cos Â
cos Â = 0,62
Â = 52º

Noter: Pour trouver les valeurs des angles cosinus on utilise le Tableau trigonométrique. Dans celui-ci, nous avons les valeurs des angles de 1º à 90º pour chaque fonction trigonométrique (sinus, cosinus et tangente).

Application

La loi des cosinus peut être appliquée à n'importe quel triangle. Qu'il s'agisse d'un angle aigu (angles intérieurs inférieurs à 90°), d'un angle obtus (avec un angle intérieur supérieur à 90°) ou d'un rectangle (avec un angle intérieur égal à 90°).

Et les Triangles Rectangulaires ?

Appliquons la loi des cosinus au côté opposé à l'angle de 90°, comme indiqué ci-dessous :

le²= b² + c² - 2. B. ç. cos 90º

Comme cos 90º = 0, l'expression ci-dessus devient :

le²= b² + c²

Qui est la même que l'expression de théorème de Pythagore. Ainsi, on peut dire que ce théorème est un cas particulier de la loi des cosinus.

La loi des cosinus convient aux problèmes où nous connaissons deux côtés et l'angle entre eux et nous voulons trouver le troisième côté.

On peut encore l'utiliser quand on connaît les trois côtés du triangle et que l'on veut connaître l'un de ses angles.

Pour les situations où nous connaissons deux angles et un seul côté et que nous voulons déterminer un autre côté, il est plus pratique d'utiliser le loi des péchés.

Définition du cosinus et du sinus

Le cosinus et le sinus d'un angle sont définis comme rapports trigonométriques dans un triangle rectangle. Le côté opposé à l'angle droit (90º) est appelé l'hypoténuse et les deux autres côtés sont appelés les jambes, comme le montre la figure ci-dessous :

Le cosinus est alors défini comme le rapport entre la mesure de la jambe adjacente et l'hypoténuse :

Le sinus, quant à lui, est le rapport entre la mesure de la jambe opposée et l'hypoténuse.

Exercices d'examen d'entrée

1. (UFSCar) Si les côtés d'un triangle mesurent x, x + 1 et x +2, alors pour tout X réel et supérieur à 1, le cosinus du plus grand angle intérieur de ce triangle est égal à :

a) x / x + 1
b) x / x + 2
c) x + 1 / x + 2
d) x – 2/3x
e) x – 3/2x

Voir la réponse

Variante e) x – 3 / 2x

2. (UFRS) Dans le triangle représenté sur la figure ci-dessous, AB et AC ont la même mesure, et la hauteur par rapport au côté BC est égale aux 2/3 de la mesure de BC.