L'équation de la droite peut être déterminée en la traçant sur le plan cartésien (x, y). Connaissant les coordonnées de deux points distincts appartenant à la ligne, nous pouvons déterminer son équation.
Il est également possible de définir une équation de la droite en fonction de son inclinaison et des coordonnées d'un point qui lui appartient.
équation générale de la droite
Deux points définissent une ligne. De cette façon, nous pouvons trouver l'équation générale de la ligne en alignant deux points avec un point générique (x, y) sur la ligne.
Soit les points A(xleaale) et B(xBaaB), non coïncidente et appartenant au plan cartésien.
Trois points sont alignés lorsque le déterminant de la matrice associée à ces points est égal à zéro. Il faut donc calculer le déterminant de la matrice suivante :
En développant le déterminant, nous trouvons l'équation suivante:
(ouile -yB) x + (xB - Xle) y + xleouiB - XBouile = 0
Appelons:
a = (yle -yB)
b = (xB - Xle)
c = xleouiB - XBouile
L'équation générale de la droite est définie comme :
hache + par + c = 0
Où le, B et ç sont constants et le et B ils ne peuvent pas être simultanément nuls.
Exemple
Trouvez une équation générale de la droite qui passe par les points A(-1, 8) et B(-5, -1).
Il faut d'abord écrire la condition d'alignement à trois points, définissant la matrice associée aux points donnés et un point générique P(x, y) appartenant à la ligne.
En développant le déterminant, on trouve :
(8+1)x + (1-5)y + 40 + 1 = 0
L'équation générale de la droite passant par les points A(-1,8) et B(-5,-1) est :
9x - 4 ans + 41 = 0
Pour en savoir plus, lisez aussi :
- Quartier général
- déterminant
- Théorème de Laplace
Equation réduite en ligne
Coefficient angulaire
On peut trouver une équation de la droite r connaissant son inclinaison (direction), c'est-à-dire la valeur de l'angle que présente la droite par rapport à l'axe x.
Pour cela, nous associons un nombre m, que l'on appelle la pente de la droite, telle que :
m = tg
la pente, la descente m on peut aussi le trouver en connaissant deux points appartenant à la droite.
Comme m = tg θ, alors :
Exemple
Déterminez la pente de la droite r qui passe par les points A(1,4) et B(2,3).
Étant,
X1 = 1 et y1 = 4
X2 = 2 et y2 = 3
Connaître le coefficient angulaire de la droite m et un point P0(X0aa0) lui appartenant, on peut définir son équation.
Pour cela, nous substituerons le point connu P dans la formule de pente.0 et un point générique P(x, y), appartenant également à la droite :
Exemple
Déterminer une équation de la droite qui passe par le point A(2,4) et a la pente 3.
Pour trouver l'équation de la droite, il suffit de remplacer les valeurs données :
y - 4 = 3 (x - 2)
y - 4 = 3x - 6
-3x + y + 2 = 0
coefficient linéaire
le coefficient linéaire non droit r est défini comme le point d'intersection de la ligne avec l'axe y, c'est-à-dire le point de coordonnées P(0,n).
En utilisant ce point, nous avons :
y - n = m (x - 0)
y = mx + n (équation linéaire réduite).
Exemple
Sachant que l'équation de la droite r est donnée par y = x + 5, identifiez sa pente, sa pente et le point d'intersection de la droite avec l'axe y.
Comme on a l'équation réduite de la droite, alors :
m = 1
Où m = tg θ ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45º
Le point d'intersection de la droite avec l'axe y est le point P(0,n), où n=5, alors le point sera P(0,5)
Lire aussi Calcul de la pente
Équation de segment de droite
Nous pouvons calculer la pente en utilisant le point A(a, 0) que la ligne coupe l'axe des x et le point B(0,b) qui coupe l'axe des y :
En considérant n = b et en substituant sous forme réduite, on a :
En divisant tous les membres par ab, on trouve l'équation segmentaire de la droite :
Exemple
Écrivez, sous forme segmentaire, l'équation de la droite qui passe par le point A(5.0) et a la pente 2.
Trouvons d'abord le point B(0,b), en le substituant dans l'expression de la pente :
En remplaçant les valeurs dans l'équation, nous avons l'équation segmentaire de la ligne:
Lisez aussi à propos de :
- Plan cartésien
- Distance entre deux points
- conique
- droit
- Lignes parallèles
- Les lignes perpendiculaire
- Segment de ligne
- Fonction linéaire
- Fonction affine
- Exercices sur les fonctions connexes
Exercices résolus
1) Étant donné la droite d'équation 2x + 4y = 9, détermine sa pente.
4y = - 2x + 9
y = - 2/4 x + 9/4
y = - 1/2 x + 9/4
Donc m = - 1/2
2) Écrire l'équation de la droite 3x + 9y - 36 = 0 sous forme réduite.
y = -1/3 x + 4
3) ENEM - 2016
Pour une expo-sciences, deux projectiles de fusée, A et B, sont en cours de construction pour être lancés. Le plan est qu'ils soient lancés ensemble, dans le but que le projectile B intercepte A lorsqu'il atteint sa hauteur maximale. Pour cela, l'un des projectiles décrira une trajectoire parabolique, tandis que l'autre décrira une trajectoire supposée droite. Le graphique montre les hauteurs atteintes par ces projectiles en fonction du temps, dans les simulations réalisées.
Sur la base de ces simulations, il a été observé que la trajectoire du projectile B devrait être modifiée pour que le
objectif a été atteint.
Pour atteindre le but, le coefficient angulaire de la droite qui représente la trajectoire de B doit
a) diminuer de 2 unités.
b) diminuer de 4 unités.
c) augmenter de 2 unités.
d) augmenter de 4 unités.
e) augmenter de 8 unités.
Il faut d'abord trouver la valeur initiale de la pente de la droite B.
En se rappelant que m = tg Ɵ, on a :
m1 = 12/6 = 2
Pour passer par le point de hauteur maximale de la trajectoire de A, la pente de la droite B doit avoir la valeur suivante :
m2 = 16/4 = 4
Ainsi, la pente de la ligne B devra passer de 2 à 4, puis elle augmentera de 2 unités.
Alternative c: augmenter de 2 unités
Voir aussi: Exercices sur la géométrie analytique
