La bissectrice est une droite perpendiculaire à un segment de droite et passant par le milieu de ce segment.
Tous les points appartenant à la bissectrice sont équidistants des extrémités de ce segment.
Rappelons que, contrairement à la ligne, qui est infinie, le segment de ligne est limité par deux points sur une ligne. C'est-à-dire qu'il est considéré comme faisant partie de la ligne.
Comment construire la bissectrice ?
On peut construire la bissectrice d'une droite à l'aide d'une règle et d'un compas. Pour le faire, suivez ces étapes:
- Tracez un segment de ligne et à ses extrémités marquez le point A et le point B.
- Prenez une mesure et faites une ouverture un peu plus grande que la moitié de la longueur du segment.
- Avec cette ouverture, placez l'extrémité sèche de la boussole au point A et tracez un demi-cercle. En gardant la même ouverture dans le bar, faites la même chose au point B.
- Les demi-cercles tracés se sont croisés en deux points, l'un au-dessus du segment de ligne et l'autre en dessous. Avec la règle, joignez ces deux points, cette droite tracée est la bissectrice du segment AB.
bissectrice d'un triangle
Les bissectrices d'un triangle sont des droites perpendiculaires passant par le milieu de chacun de ses côtés. Ainsi, un triangle a 3 bissectrices.
Le point de rencontre de ces trois bissectrices s'appelle centre circonscrit. Ce point, qui est à la même distance de chacun de ses sommets, est le centre du cercle circonscrit au triangle.
Médiane, bissectrice et hauteur d'un triangle
Dans un triangle, en plus des bissectrices, nous pouvons construire des médianes, qui sont des segments de droites qui passent également par le milieu des côtés.
La différence est que si la bissectrice forme une angle 90º avec le côté, la médiane joint le sommet au milieu des côtés opposés, formant un angle qui peut être ou non de 90º.
Nous pouvons toujours tracer les hauteurs et bissectrices. La hauteur est également perpendiculaire aux côtés du triangle, mais fait partie de son sommet. Contrairement à la bissectrice, la hauteur ne passe pas nécessairement par le milieu du côté.
En partant du sommet, on peut tracer les bissectrices internes, qui sont des segments de droites qui divisent les angles du triangle en deux autres angles de même mesure.
Dans un triangle, on peut tracer trois médianes et elles se rencontrent en un point appelé barycentre. Ce point est appelé centre de gravité d'un triangle.
Le barycentre divise les médianes en deux parties, car la distance du point au sommet est le double de la distance du point au côté.
Alors que le point de rencontre des hauteurs (ou leurs prolongements) est appelé orthocentre, la réunion des bissectrices internes est convoquée centre.
exercices résolus
1) Epcar - 2016
Un terrain en forme de triangle rectangle sera divisé en deux lots par une clôture faite sur la bissectrice de l'hypoténuse, tel qu'illustré à la figure.
On sait que les côtés AB et BC de ce terrain mesurent respectivement 80 m et 100 m. Ainsi, le rapport entre le périmètre du lot I et le périmètre du lot II, dans cet ordre, est de
Pour trouver le rapport entre les périmètres, il faut connaître la mesure de tous les côtés du lot I et du lot II.
Cependant, nous ne connaissons pas les mesures des côtés ,
et
du lot I, ni la mesure de
du lot II.
Pour commencer, on peut trouver la valeur de mesure sur le côté , en appliquant le théorème de Pythagore, c'est-à-dire :
Nous pourrions également trouver cette valeur en notant que nous avons un multiple du triangle de Pythagore 3, 4 et 5.
Ainsi, si un côté mesure 80 m (4. 20), l'autre mesure 100 m (5. 20), le troisième côté ne peut donc mesurer que 60 m (3. 20).
Nous savons que la clôture est la bissectrice de l'hypoténuse, elle divise donc ce côté en deux parties égales, formant un angle de 90º avec le côté. De cette façon, le triangle PMB est un rectangle.
Notez que les triangles PMB et ACB sont similaires, car ils ont des angles de même mesure. appeler le côté de x, nous avons ce côté
sera égal à 80-x.
On peut donc écrire les proportions suivantes :
Reste à trouver la mesure sur le côté . Pour trouver cette valeur, appelons ce côté y. Par similarité de triangles, on trouve la proportion suivante :
Maintenant que nous connaissons la mesure de tous les côtés, nous pouvons calculer les périmètres des lots :
Avant de calculer le périmètre du lot II, sachez que la mesure de sera égal à
, c'est à dire
. Ainsi, le périmètre sera :
Ainsi, le rapport entre les périmètres sera égal à :
Alternative: d)
2) Enem - 2013
Ces dernières années, la télévision a connu une véritable révolution, en termes de qualité d'image, de son et d'interactivité avec le téléspectateur. Cette transformation est due à la conversion du signal analogique en signal numérique. Cependant, de nombreuses villes ne disposent toujours pas de cette nouvelle technologie. Cherchant à apporter ces avantages à trois villes, une chaîne de télévision a l'intention de construire une nouvelle tour de transmission, qui envoie un signal aux antennes A, B et C, qui existent déjà dans ces villes. Les emplacements des antennes sont représentés dans le plan cartésien :
La tour doit être située à un emplacement équidistant des trois antennes. L'endroit approprié pour la construction de cette tour correspond au point de coordonnées
a) (65; 35).
b) (53; 30).
c) (45; 35).
d) (50; 20).
e) (50; 30).
Comme nous voulons que la tour soit construite à égale distance des trois antennes, elle doit être située en un point appartenant à la bissectrice de la ligne AB, comme représenté dans l'image ci-dessous :
De l'image, nous concluons que l'abscisse du point sera égale à 50. Maintenant, nous devons trouver la valeur d'ordonnée. Pour cela, considérons que les distances entre les points AT et AC sont égales :
Variante: e) (50; 30)
En savoir plus sur certains sujets connexes:
- théorème de Pythagore
- Segment de ligne
- Les lignes perpendiculaire
- conique
