LES Moyenne géométrique ainsi que la moyenne arithmétique et la moyenne harmonique ont été développés par l'école pythagoricienne. À statistique il est assez courant de rechercher représentation d'un ensemble de données par une valeur unique pour la prise de décision. Une des possibilités pour la valeur centrale est la moyenne géométrique.
Il est utile pour représenter un ensemble qui a des données qui se comportent à proximité d'un progression géométrique, aussi pour trouver le côté de carré et cube, connaissant respectivement l'aire et le volume. La moyenne géométrique est également appliquée dans situations d'accumulation de pourcentage d'augmentation ou de diminution. Pour calculer la moyenne géométrique d'un ensemble de n valeurs, nous calculons le racine nième du produit des éléments, c'est-à-dire que si un ensemble a trois termes, par exemple, nous multiplions les trois et calculons la racine cubique du produit.
Formule de moyenne géométrique
La moyenne géométrique est utilisée pour trouver un valeur moyenne entre un ensemble de données. Pour calculer la moyenne géométrique, un ensemble de deux éléments ou plus est nécessaire. Soit A un ensemble de données A = (x1, X2, X3,... Xnon), un ensemble à n éléments, la moyenne géométrique de cet ensemble est calculée par :
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Calcul de la moyenne géométrique
Soit A = {3,12,16,36}, quelle sera la moyenne géométrique de cet ensemble ?
Résolution:
Pour calculer la moyenne géométrique, on compte d'abord le nombre de termes dans l'ensemble, dans le cas n = 4. Nous devons donc :
Méthode 1 : Effectuer les multiplications.
Comme nous n'avons pas toujours une calculatrice disponible pour effectuer le multiplication, il est possible de faire le calcul en se basant sur la factorisation d'un entier naturel.
Méthode 2 : Factorisation.
En utilisant les factorisations, nous devons :
Applications de la moyenne géométrique
La moyenne géométrique peut être appliquée à n'importe quel ensemble de données statistiques, mais elle est généralement Employé dans géométrie, pour comparer les côtés de prismes et de cubes de même volume, ou de carrés et de rectangles de même aire. Il y a aussi une application dans problèmes de mathématiques financières qui impliquent un pourcentage cumulé, c'est-à-dire pourcentage sous pourcentage. En plus d'être le moyen le plus pratique pour les données qui se comportent comme une progression géométrique.
Exemple 1: Application en pourcentage.
Un produit, pendant trois mois, a connu des augmentations consécutives, la première était de 20 %, la deuxième de 10 % et la troisième de 25 %. Quel a été le pourcentage d'augmentation moyen à la fin de cette période?
Résolution
Le produit coûtait initialement 100 %, le premier mois, il a commencé à coûter 120 %, ce qui, sous sa forme décimale, s'écrit 1.2. Ce raisonnement sera le même pour les trois augmentations, nous voulons donc la moyenne géométrique entre: 1,2; 1,1; et 1,25.
L'augmentation est de 18,2% par mois en moyenne.
Voir aussi: Calcul de pourcentage avec la règle de trois
Exemple 2: Application en géométrie.
Quelle doit être la valeur de x dans l'image, sachant que le carré et le rectangle ont alors la même aire ?
Résolution:
Pour trouver la valeur x du côté du carré, nous allons calculer la moyenne géométrique entre les côtés du rectangle.
Par conséquent, le côté du carré est de 12 cm.
Exemple 3 : Progression géométrique.
Quels sont les termes de P.G., sachant que le prédécesseur de la valeur centrale est x, la valeur centrale est 10 et le successeur de la valeur centrale est 4x.
Résolution:
Nous connaissons les termes de P.G. (x, 10.4x) et on sait que la moyenne géométrique entre le successeur et le prédécesseur est égale au terme central du P.G., donc il faut :
Différence entre la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique
En statistique, le comportement des données est très important pour choisir une valeur unique pour les représenter. C'est pourquoi il existe des types de mesures centrales et il y a types de médias.
Le choix de la moyenne à utiliser doit être fait en tenant compte du jeu de données sur lequel nous travaillons. Comme on le voit dans l'exemple, si ce sont des données qui se comportent près d'une progression géométrique et ont la croissance la plus exponentielle, la moyenne géométrique est recommandée.
Dans d'autres situations, la plupart du temps nous utilisons le moyenne arithmétique, par exemple, le poids moyen d'un individu au cours de l'année. Lorsque l'on compare le calcul de deux types de moyenne pour le même ensemble de données, la géométrie sera toujours plus petite que l'arithmétique.
Lorsque nous comparons la formule de la moyenne arithmétique avec la formule de la moyenne géométrique, nous remarquons la différence, car la première est calculée par somme de termes diviséele par le montant des termes, tandis que la seconde, comme nous l'avons vu, est calculée par la racine nième du produit de tous les termes.
Exemple 4: Étant donné l'ensemble (3, 9, 27, 81, 243), sachez qu'il s'agit d'un P.G. de rapport 3, puisque du premier au deuxième terme on multiplie par trois, du deuxième au troisième aussi, et ainsi de suite. Lorsque l'on cherche une valeur centrale pour représenter cet ensemble, idéalement ce devrait être le terme central de la progression, ce qui se produit si nous calculons la moyenne géométrique. Cependant, lors du calcul de la moyenne arithmétique, des valeurs plus élevées rendent la valeur de cette moyenne trop élevée par rapport à les termes de l'ensemble, et plus la valeur est grande, plus la moyenne arithmétique sera éloignée d'une représentation du terme central.
Résolution:
1ère moyenne arithmétique
2e moyenne géométrique
Accédez également à: Mode, moyenne et médianea – les mesures de centralité
exercices résolus
Question 1 - Le prix de l'essence au Brésil a connu de fortes augmentations ces derniers mois. Les augmentations mensuelles au cours des 4 derniers mois étaient respectivement de 9 %, 15 %, 25 % et 16 %. Quel a été le pourcentage moyen d'augmentation au cours de cette période?
a) 15 %
b) 15,5%
c) 16%
d) 14%
e) 14,5%
Résolution
Variante A
Question 2 - Un prisme à base rectangulaire a le même volume qu'un cube. Sachant que les dimensions du prisme sont de 6 cm de long, 20 cm de haut et 25 cm de large, quelle est la valeur du côté du cube en centimètres ?
Résolution:
Variante D
Par Raul Rodrigues de Oliveira
Professeur de mathématiques
La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/media-geometrica.htm