Matrices: Exercices commentés et résolus

Matrix est un tableau formé de nombres réels, disposés en lignes et en colonnes. Les nombres qui apparaissent dans la matrice sont appelés éléments.

Profitez des questions d'examen d'entrée résolues et commentées pour dissiper tous vos doutes concernant ce contenu.

Problèmes d'examen d'entrée résolus

1) Unicamp - 2018

Soient a et b des nombres réels tels que la matrice A = satisfait l'équation A²= aA + bI, où I est la matrice identité d'ordre 2. Donc le produit ab est égal à

a) -2.
b) -1.
c) 1.
d) 2.

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Pour connaître la valeur du produit a.b, nous devons d'abord connaître la valeur de a et b. Considérons donc l'équation donnée dans le problème.

Pour résoudre l'équation, calculons la valeur de A², ce qui se fait en multipliant la matrice A par elle-même, soit :

Cette opération se fait en multipliant les lignes de la première matrice par les colonnes de la deuxième matrice, comme indiqué ci-dessous :

De cette façon, la matrice A² c'est la même chose que :

Compte tenu de la valeur que nous venons de trouver et en rappelant que dans la matrice identité les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1 et les autres éléments sont égaux à 0, l'équation sera :

Il faut maintenant multiplier la matrice A par le nombre a et la matrice identité par le nombre b.

N'oubliez pas que pour multiplier un nombre par un tableau, nous multiplions le nombre par chaque élément du tableau.

Ainsi, notre égalité sera égale à :

En additionnant les deux matrices, on a :

Deux matrices sont égales lorsque tous les éléments correspondants sont égaux. De cette façon, on peut écrire le système suivant :

Isoler le a dans la deuxième équation :

En substituant la valeur trouvée pour a dans la première équation, nous trouvons la valeur de b :

2 + b = 1
b = 1 - 2
b = -1

Ainsi, le produit sera donné par :

Le. b = - 1. 2
Le. b = - 2

Alternative: a) -2.

2) Unesco - 2016

Un point P, de coordonnées (x, y) du plan cartésien orthogonal, est représenté par la matrice colonne. , ainsi que la matrice de colonnes représente, dans le plan cartésien orthogonal, le point P de coordonnées (x, y). Ainsi, le résultat de la multiplication matricielle est une matrice colonne qui, dans le plan cartésien orthogonal, représente nécessairement un point qui est

a) une rotation de 180º de P dans le sens des aiguilles d'une montre, et avec le centre à (0, 0).
b) une rotation de P de 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, avec le centre à (0, 0).
c) symétrique de P par rapport à l'axe horizontal des x.
d) symétrique de P par rapport à l'axe vertical y.
e) une rotation de P à 90º dans le sens des aiguilles d'une montre, et avec le centre à (0, 0).

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Le point P est représenté par une matrice, telle que l'abscisse (x) est indiquée par l'élément a.₁₁ et l'ordonnée (y) par élément a₂₁ de la matrice.

Pour trouver la nouvelle position du point P, il faut résoudre la multiplication des matrices présentées et le résultat sera :

Le résultat représente la nouvelle coordonnée du point P, c'est-à-dire que l'abscisse est égale à -y et l'ordonnée est égale à x.

Pour identifier la transformation subie par la position du point P, représentons la situation dans le plan cartésien, comme indiqué ci-dessous :

Ainsi, le point P, initialement situé dans le 1er quadrant (abscisse et ordonnée positives), s'est déplacé vers le 2e quadrant (abscisse négative et ordonnée positive).

Lors du déplacement vers cette nouvelle position, le point a été tourné dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, comme représenté dans l'image ci-dessus par la flèche rouge.

Nous devons encore identifier la valeur de l'angle de rotation.

En reliant la position d'origine du point P au centre de l'axe cartésien et en faisant de même par rapport à sa nouvelle position P', on a la situation suivante :

Notez que les deux triangles indiqués sur la figure sont congrus, c'est-à-dire qu'ils ont les mêmes mesures. De cette façon, leurs angles sont également les mêmes.

De plus, les angles et sont complémentaires, car la somme des angles internes des triangles est égale à 180º et comme le triangle est rectangle, la somme de ces deux angles sera égale à 90º.

Par conséquent, l'angle de rotation de la pointe, indiqué sur la figure par, ne peut être égal qu'à 90º.

Alternative: b) une rotation de 90° de P dans le sens antihoraire, avec le centre à (0, 0).

3) Unicamp - 2017

Puisque a est un nombre réel, considérons la matrice A = . Alors le²⁰¹⁷ c'est pareil que
Le)
B)
ç)
ré)

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Tout d'abord, essayons de trouver un modèle pour les puissances, car c'est beaucoup de travail de multiplier la matrice A par elle-même 2017 fois.

En rappelant que dans la multiplication matricielle, chaque élément est trouvé en additionnant les résultats de la multiplication des éléments de la ligne de l'un par les éléments de la colonne de l'autre.

Commençons par calculer A²:

Le résultat était la matrice d'identité, et lorsque nous multiplions une matrice par la matrice d'identité, le résultat sera la matrice elle-même.

Par conséquent, la valeur de A³ sera égal à la matrice A elle-même, puisque A³ = Un². LES.

Ce résultat sera répété, c'est-à-dire que lorsque l'exposant est pair, le résultat est la matrice identité et lorsqu'il est impair, ce sera la matrice A elle-même.

Puisque 2017 est impair, alors le résultat sera égal à la matrice A.

Alternative: b)

4) UFSM - 2011

Le diagramme donné représente la chaîne alimentaire simplifiée d'un écosystème donné. Les flèches indiquent l'espèce dont se nourrit l'autre espèce. Attribuant une valeur de 1 lorsqu'une espèce se nourrit d'une autre et de zéro, lorsque l'inverse se produit, nous avons le tableau suivant :

La matrice A = (a_je)_4x4, associée à la table, a la loi d'apprentissage suivante :

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Puisque le numéro de ligne est indiqué par i et le numéro de colonne indiqué par j, et en regardant le tableau, nous remarquons que lorsque i est égal à j, ou que i est supérieur à j, le résultat est zéro.

Les positions occupées par 1 sont celles dont le numéro de colonne est supérieur au numéro de ligne.

Alternative: c)

5) Unesco - 2014

Considérons l'équation matricielle A + BX = X + 2C, dont l'inconnue est la matrice X et toutes les matrices sont des carrés d'ordre n. La condition nécessaire et suffisante pour que cette équation ait une solution unique est que :

a) B – I O, où I est la matrice identité d'ordre n et O est la matrice nulle d'ordre n.
b) B est inversible.
c) B O, où O est la matrice nulle d'ordre n.
d) B – I est inversible, où I est la matrice identité d'ordre n.
e) A et C sont inversibles.

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Pour résoudre l'équation matricielle, nous devons isoler le X d'un côté du signe égal. Pour ce faire, soustrayons d'abord la matrice A des deux côtés.

A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A

Maintenant, soustrayons le X, également des deux côtés. Dans ce cas, l'équation sera :

BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X.(B - I) =2C - A

Puisque I est la matrice d'identité, lorsque nous multiplions une matrice par l'identité, le résultat est la matrice elle-même.

Ainsi, pour isoler le X, nous devons maintenant multiplier les deux côtés du signe égal par la matrice inverse de (B-I), c'est-à-dire :

X. (B - I) (B - I) ^{- 1} = (B - I) ^{- 1}. (2C-A)

En rappelant que lorsqu'une matrice est inversible, le produit de la matrice par l'inverse est égal à la matrice identité.
X = (B - I) ^{- 1}. (2C-A)

Ainsi, l'équation aura une solution lorsque B - I est inversible.

Alternative: d) B – I est inversible, où I est la matrice identité d'ordre n.

6) Enem - 2012

Un étudiant notait les notes bimensuelles de certaines de ses matières dans un tableau. Il a noté que les entrées numériques dans le tableau formaient une matrice 4x4, et qu'il pouvait calculer des moyennes annuelles pour ces disciplines en utilisant le produit de matrices. Tous les tests avaient le même poids, et le tableau qu'il a obtenu est présenté ci-dessous

Pour obtenir ces moyennes, il a multiplié la matrice obtenue à partir du tableau par

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La moyenne arithmétique est calculée en additionnant toutes les valeurs et en divisant par le nombre de valeurs.

Ainsi, l'étudiant doit additionner les notes des 4 bimestres et diviser le résultat par 4 ou multiplier chaque note par 1/4 et additionner tous les résultats.

En utilisant des matrices, nous pouvons obtenir le même résultat en effectuant une multiplication matricielle.

Cependant, nous devons nous rappeler qu'il n'est possible de multiplier deux matrices que lorsque le nombre de colonnes dans l'une est égal au nombre de lignes dans l'autre.

Comme la matrice de notes a 4 colonnes, la matrice que nous allons multiplier doit avoir 4 lignes. Ainsi, il faut multiplier par la matrice colonne :

Alternative: et

7) Fuvest - 2012

Considérez la matrice , sur quoi le est un nombre réel. Sachant que A admet l'inverse A^-1 dont la première colonne est , la somme des éléments de la diagonale principale de A^-1 c'est pareil que

a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

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Multiplier une matrice par son inverse est égal à la matrice identité, on peut donc représenter la situation par l'opération suivante :

En résolvant la multiplication de la deuxième ligne de la première matrice par la première colonne de la deuxième matrice, nous avons l'équation suivante :

(à 1). (2a - 1) + (a + 1). (- 1) = 0
2e² - a - 2a + 1 + (-a) + (-1) = 0
2e² - 4ème = 0
2e (a - 2) = 0
a - 2 = 0
a = 2

En remplaçant la valeur de a dans la matrice, on a :

Maintenant que nous connaissons la matrice, calculons son déterminant :

Ainsi, la somme de la diagonale principale sera égale à 5.

Alternative: a) 5

Pour en savoir plus, voir aussi :

• Matrices
• Déterminants
• La règle de Sarrus
• Théorème de Laplace
• Matrice transposée