Zone de figures plates: exercices résolus et commentés

La zone plate de la figure représente l'étendue de l'extension de la figure dans le plan. Comme figures plates, on peut citer le triangle, le rectangle, le losange, le trapèze, le cercle, entre autres.

Utilisez les questions ci-dessous pour vérifier vos connaissances sur cet important sujet de la géométrie.

Problèmes de concours résolus

question 1

(Cefet/MG - 2016) La surface carrée d'un site doit être divisée en quatre parties égales, également carrées, et, dans l'un d'eux, une réserve forestière indigène (zone hachurée) doit être maintenue, comme le montre la figure a poursuivre.

Question Cefet-mg 2016 zone de chiffres plats

Sachant que B est le milieu du segment AE et C est le milieu du segment EF, la zone hachurée, en m², donne-moi

a) 625,0.
b) 925,5.
c) 1562,5.
d) 2500,0.

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Alternative correcte: c) 1562.5.

En observant la figure, on remarque que la zone hachurée correspond à l'aire du carré de 50 m de côté moins l'aire des triangles BEC et CFD.

La mesure du côté BE, du triangle BEC, est égale à 25 m, car le point B divise le côté en deux segments congrus (milieu du segment).

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Il en est de même des côtés EC et CF, c'est-à-dire que leurs mesures sont également égales à 25 m, puisque le point C est le milieu du segment EF.

Ainsi, on peut calculer l'aire des triangles BEC et CFD. Considérant deux côtés connus sous le nom de base, l'autre côté sera égal à la hauteur, car les triangles sont des rectangles.

En calculant l'aire du carré et des triangles BEC et CFD, on a :

$droit A avec indice carré égal droit L carré droit A avec carré indice AEFD fin de l'indice égal à 50,50 égal à 2500 espace droit m carré droit A avec incrément en indice égal au numérateur droit B. droite h au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction droite A avec incrément BED indice fin de l'indice égal au numérateur 25,25 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction égal à 625 sur 2 égal à 312 virgule 5 espace droit m carré droit A avec incrément CFD indice fin de l'indice égal au numérateur 25,50 sur dénominateur 2 fin de fraction égal à 1250 sur 2 égal à 625 espace droit m carré droit Un espace aire aire espace espace hachuré sera espace trouvé espace faisant moins si deux points droits A avec indice droit h égal à 2500 moins 625 moins 312 virgule 5 égal à 1562 virgule 5 espace droit m ao carré$

Par conséquent, la zone hachurée, en m², mesure 1562,5.

question 2

(Cefet/RJ - 2017) Un carré de côté x et un triangle équilatéral de côté y ont des aires de même mesure. Ainsi, on peut dire que le rapport x/y est égal à :

$droite une parenthèse droite espace numérateur racine carrée de 6 sur le dénominateur 4 fin de fraction droite b droite parenthèse espace 3 sur 2 droite c parenthèse numérateur à droite racine carrée de 3 sur le dénominateur 4 fin de fraction droite d parenthèse numérateur à droite racine quatrième de 3 sur le dénominateur 2 fin de fraction$

Voir la réponse

Bonne alternative: $droite d parenthèse droite numérateur racine quatrième de 3 sur dénominateur 2 fin de fraction$ .

L'information donnée dans le problème est que les zones sont les mêmes, c'est-à-dire :

droit A avec indice carré égal droit A avec indice triangle

L'aire du triangle se trouve en multipliant la mesure de base par la mesure de hauteur et en divisant le résultat par 2. Puisque le triangle est équilatéral et le côté égal à y, sa valeur de hauteur est donnée par :

$droit h est égal au numérateur droit L racine carrée de 3 sur le dénominateur 2 fin de fraction est égal au numérateur droit y racine carrée de 3 sur le dénominateur 2 fin de fraction Substitution espace cet espace valeur espace dans l'espace formule espace espace aire espace espace espace espace triangle virgule espace nous avons deux points droits A avec un triangle en indice égal au numérateur droit b. h droit au-dessus du dénominateur 2 fin de fraction égale au numérateur droit y. parenthèse gauche début du style afficher le numérateur droit y racine carrée de 3 sur le dénominateur 2 fin de la fraction fin du style parenthèse droite sur le dénominateur 2 fin de fraction égale au numérateur droit y carré racine carrée de 3 sur le dénominateur 4 fin de fraction Egaliser l'espace en tant qu'aires deux points droits x carré égal un numérateur droit y racine carrée au carré de 3 sur le dénominateur 4 fin de fraction Calcul du rapport espace/espace droit deux points droit x au carré sur le droit y à carré est égal au numérateur racine carrée de 3 sur le dénominateur 4 fin de fraction double flèche vers la droite droite x sur droite y est égale à la racine carrée de la racine du numérateur carré de 3 sur le dénominateur 4 fin de fraction fin de racine double flèche vers la droite droite x sur droite y égal au numérateur racine quatrième de 3 sur dénominateur 2 fin de fraction$

On peut donc dire que le rapport x/y est égal à $numérateur racine quatrième de 3 sur le dénominateur 2 fin de fraction$ .

question 3

(IFSP - 2016) Une place publique en forme de cercle a un rayon de 18 mètres. À la lumière de ce qui précède, cochez l'alternative qui présente votre région.

a) 1 017,36 m²
b) 1 254,98 m²
c) 1 589,77 m²
d) 1 698,44 m²
e) 1 710,34 m²

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Alternative correcte: a) 1 017, 36 m².

Pour trouver l'aire du carré, il faut utiliser la formule de l'aire du cercle :

A = .R²

En substituant la valeur du rayon et en considérant = 3,14, on trouve :

A = 3,14. 18² = 3,14. 324 = 1 017, 36 mètres²

Par conséquent, l'aire carrée est de 1 017, 36 m².

question 4

(IFRS - 2016) Un rectangle a des dimensions x et y, qui sont exprimées par les équations x²= 12 et (y - 1)² = 3.

Le périmètre et l'aire de ce rectangle sont respectivement

a) 6√3 + 2 et 2 + 6√3
b) 6√3 et 1 + 2√3
c) 6√3 + 2 et 12
d) 6 et 2√3
e) 6√3 + 2 et 2√3 + 6

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Alternative correcte: e) 6√3 + 2 et 2√3 + 6.

Résolvons d'abord les équations, pour trouver les valeurs de x et y :

X²= 12 x = √12 = √4,3 = 2√3
(y - 1) ²= 3 y = √3 + 1

Le périmètre du rectangle sera égal à la somme de tous les côtés :

P = 2,2√3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2

Pour trouver la zone, il suffit de multiplier x.y :

A = 2√3. (√3 + 1) = 2√3 + 6

Par conséquent, le périmètre et l'aire du rectangle sont respectivement 6√3 + 2 et 2√3 + 6.

question 5

(Apprenti Marin - 2016) Analysez la figure suivante :

Question de la zone des apprentis marins 2016

Sachant que EP est le rayon du demi-cercle central dans E, comme le montre la figure ci-dessus, déterminez la valeur de la zone la plus sombre et cochez la bonne option. Données: nombre π=3

a) 10 cm²
b) 12 cm²
c) 18cm²
d) 10 cm²
e) 24 cm²

Voir la réponse

Alternative correcte: b) 12 cm².

La zone la plus sombre est trouvée en ajoutant l'aire de la demi-circonférence à l'aire du triangle ABD. Commençons par calculer l'aire du triangle, pour cela, notons que le triangle est un rectangle.

Appelons le côté AD de x et calculons sa mesure en utilisant le théorème de Pythagore, comme indiqué ci-dessous :

5²= x² + 3²
X² = 25 - 9
x = 16
x = 4

Connaissant la mesure latérale AD, on peut calculer l'aire du triangle :

$droite A avec triangle ABD indice fin d'indice égal au numérateur 3,4 sur le dénominateur 2 fin de fraction égale à 12 sur 2 égal à 6 espace cm carré$

Nous devons encore calculer l'aire de la demi-circonférence. Notez que son rayon sera égal à la moitié de la mesure du côté AD, donc r = 2 cm. L'aire de la demi-circonférence sera égale à :

$droit A égal à πr au carré sur 2 égal au numérateur 3,2 au carré sur le dénominateur 2 fin de fraction égale à 6 espace cm carré$

La zone la plus sombre sera trouvée en faisant: A_T= 6 + 6 = 12 cm²

Par conséquent, la valeur de la zone la plus sombre est de 12 cm².

question 6

(Enem - 2016) Un homme, père de deux enfants, souhaite acheter deux parcelles de terrain, avec des superficies de même mesure, une pour chaque enfant. L'un des terrains visités est déjà délimité et, bien qu'il n'ait pas de format conventionnel (comme le montre la figure B), il a plu au fils aîné et, par conséquent, a été acheté. Le plus jeune a un projet architectural pour une maison qu'il veut construire, mais pour cela il a besoin d'un terrain de forme rectangulaire (comme le montre la figure A) dont la longueur est supérieure de 7 m à la largeur.

Question Enem 2016 superficie d'un terrain

Pour satisfaire le plus jeune fils, ce monsieur a besoin de trouver un terrain rectangulaire dont les mesures, en mètres, en longueur et en largeur sont égales, respectivement, à

a) 7,5 et 14,5
b) 9,0 et 16,0
c) 9.3 et 16.3
d) 10,0 et 17,0
e) 13,5 et 20,5

Voir la réponse

Alternative correcte: b) 9.0 et 16.0.

Puisque l'aire de la figure A est égale à l'aire de la figure B, calculons d'abord cette aire. Pour cela, divisons la figure B, comme le montre l'image ci-dessous :

Question de la superficie de l'Enem 2016

Notez que lors de la division de la figure, nous avons deux triangles rectangles. Par conséquent, l'aire de la figure B sera égale à la somme des aires de ces triangles. En calculant ces surfaces, on a :

$droit A avec droit B 1 indice fin d'indice égal au numérateur 21,3 au-dessus du dénominateur 2 fin de fraction égale à 63 sur 2 égal à 31 virgule 5 espace droit m au carré droit A avec droit B 2 fin d'indice égal au numérateur 15,15 au-dessus du dénominateur 2 fin de fraction égale à 225 au-dessus 2 est égal à 112 virgule 5 espace droit m carré droit A avec indice droit B est égal à 112 virgule 5 plus 31 virgule 5 équivaut à 144 espace droit m ao carré$

Puisque la figure A est un rectangle, son aire se trouve en faisant :

LES_LES = x. (x + 7) = x²+ 7x

En égalant l'aire de la figure A avec la valeur trouvée pour l'aire de la figure B, on trouve :

X² + 7x = 144
X² + 7x - 144 = 0

Résolvons l'équation du 2ème degré en utilisant la formule de Bhaskara :

$incrément égal à 49 moins 4,1. parenthèse gauche moins 144 parenthèse droite incrément égal à 49 plus 576 incrément égal à 625 x droit avec 1 indice égal au numérateur moins 7 plus 25 au-dessus du dénominateur 2 fin de fraction égale à 18 sur 2 égal à 9 x droit avec 2 indice égal au numérateur moins 7 moins 25 au-dessus du dénominateur 2 la fin de la fraction est égale au numérateur moins 32 au-dessus du dénominateur 2 la fin de la fraction est égale à moins 16 à la puissance de l'espace en blanc$

Comme une mesure ne peut pas être négative, considérons simplement la valeur égale à 9. Par conséquent, la largeur du terrain dans la figure A sera égale à 9 m et la longueur sera égale à 16 m (9+7).

Par conséquent, les mesures de longueur et de largeur doivent être respectivement égales à 9,0 et 16,0.

question 7

(Enem - 2015) Une entreprise de téléphonie mobile possède deux antennes qui seront remplacées par une nouvelle, plus puissante. Les zones de couverture des antennes qui seront remplacées sont des cercles de 2 km de rayon, dont les circonférences sont tangentes au point O, comme le montre la figure.

Le point O indique la position de la nouvelle antenne, et sa zone de couverture sera un cercle dont la circonférence tangente extérieurement les circonférences des zones de couverture plus petites. Avec l'installation de la nouvelle antenne, la mesure de la zone de couverture, en kilomètres carrés, a été élargie de

a) 8
b) 12
c) 16
d) 32
e) 64

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Alternative correcte: a) 8 .

Le grossissement de la mesure de la zone de couverture sera trouvé en diminuant les zones des plus petits cercles du plus grand cercle (en référence à la nouvelle antenne).

Comme la circonférence de la nouvelle zone de couverture touche extérieurement les plus petites circonférences, son rayon sera égal à 4 km, comme indiqué dans la figure ci-dessous :

Calculons les aires A₁ et le₂des plus petits cercles et de la zone A₃ du grand cercle :

LES₁= Un₂ = 2². π = 4 π
LES₃ = 4².π = 16 π

La mesure de la zone agrandie sera trouvée en faisant :

A = 16 - 4 - 4 = 8

Par conséquent, avec l'installation de la nouvelle antenne, la mesure de la zone de couverture, en kilomètres carrés, a été augmentée de 8 π.

question 8

(Enem - 2015) Le schéma I montre la configuration d'un terrain de basket. Les trapèzes gris, appelés bonbonnes, correspondent à des zones restreintes.

Visant à répondre aux directives du Comité central de la Fédération internationale de basket-ball (Fiba) en 2010, qui a unifié les marquages des différents alliages, une modification était prévue dans les bonbonnes des courts, qui deviendraient des rectangles, comme indiqué dans le Schéma II.

Après avoir effectué les modifications prévues, il y a eu une modification de la surface occupée par chaque bonbonne, ce qui correspond à un (a)

a) augmentation de 5800 cm².
b) 75 400 cm d'augmentation².
c) augmentation de 214 600 cm².
d) diminution de 63 800 cm².
e) diminution de 272 600 cm².

Voir la réponse

Alternative correcte: a) augmentation de 5800 cm².

Pour savoir quel a été le changement dans la zone occupée, calculons la zone avant et après le changement.

Dans le calcul du schéma I, nous utiliserons la formule de l'aire du trapèze. Dans le schéma II, nous utiliserons la formule de l'aire du rectangle.

$droit A avec droit I indice égal à la parenthèse gauche du numérateur droit B plus droit b parenthèse droite. h droite au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction A droite avec indice I droit égal à la parenthèse gauche du numérateur 600 plus 360 parenthèses à droite.580 sur le dénominateur 2 fin de fraction égale à 278 espace 400 espace cm carré droit A avec indice II égal à droit B. droite h droite A avec II indice égal à 580 490 égal à 284 espace 200 espace cm au carré$

Le changement de zone sera alors :

A = A_II- UNE_je
A = 284 200 - 278 400 = 5 800 cm²

Ainsi, après avoir réalisé les modifications prévues, il y a eu un changement de la surface occupée par chaque bonbonne, ce qui correspond à une augmentation de 5800 cm².

Exercices proposés (avec résolution)

question 9

Ana a décidé de construire une piscine rectangulaire dans sa maison mesurant 8 m de base sur 5 m de haut. Tout autour, en forme de trapèze, il était rempli d'herbe.

Sachant que la hauteur du trapèze est de 11 m et ses bases sont de 20 m et 14 m, quelle est la superficie de la partie qui a été remplie d'herbe ?

a) 294 mètres²
b) 153 mètres²
c) 147 mètres²
d) 216 mètres²

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Alternative correcte: c) 147 m².

Comme le rectangle, qui représente la piscine, est inséré à l'intérieur d'une figure plus grande, le trapèze, commençons par calculer l'aire de la figure extérieure.

La surface du trapèze est calculée à l'aide de la formule :

$droit Un espace est égal à l'espace du numérateur parenthèse gauche droite B espace plus espace droit b parenthèse droite espace. espace droit h au-dessus du dénominateur 2 fin de fraction$

Où,

B est la mesure de la plus grande base ;
b est la mesure de la plus petite base ;
h est la hauteur.

En remplaçant les données de l'instruction dans la formule, nous avons :

$droit Un espace est égal à l'espace du numérateur parenthèse gauche droite B espace plus espace droit b parenthèse droite espace. espace droit h au-dessus du dénominateur 2 fin de l'espace de fraction égal à l'espace numérateur parenthèse gauche 20 espace droit m espace plus espace 14 espace droit m parenthèse droite espace. espace 11 espace droit m sur le dénominateur 2 fin de fraction égale au numérateur espace 374 espace droit m au carré sur dénominateur 2 fin de fraction espace égal à l'espace 187 espace droit m au carré$

Calculons maintenant l'aire du rectangle. Pour cela, il suffit de multiplier la base par la hauteur.

droit Un espace est égal à un espace droit b espace. l'espace droit h l'espace est égal à l'espace 8 l'espace droit m l'espace. espace 5 droit espace m espace égal à l'espace 40 droit espace m au carré

Pour trouver la surface couverte d'herbe, il faut soustraire l'espace occupé par la piscine de la surface du trapèze.

187 espace droit m espace carré moins espace 40 espace droit m à la puissance 2 espace extrémité de l'exponentielle égale à l'espace 147 espace droit m carré

Par conséquent, la zone remplie d'herbe était de 147 m².

Voir aussi: Zone Trapèze

question 10

Pour rénover le toit de son entrepôt, Carlos décide d'acheter des tuiles coloniales. En utilisant ce type de toit, 20 pièces sont nécessaires pour chaque mètre carré de toit.

Si le toit du lieu est formé de deux plaques rectangulaires, comme dans la figure ci-dessus, combien de tuiles Carlos doit-il acheter ?

a) 12000 tuiles
b) 16000 tuiles
c) 18000 tuiles
d) 9600 tuiles

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Alternative correcte: b) 16000 tuiles.

Le toit de l'entrepôt est composé de deux plaques rectangulaires. Il faut donc calculer l'aire d'un rectangle et multiplier par 2.

un espace droit est égal à un espace droit B espace. espace droit h espace est égal à l'espace 40 espace droit m espace. espace 10 droit espace m espace égal à l'espace 400 droit espace m carré espace espace 2 droit espace x espace 400 espace droit m à la puissance 2 espace extrémité de l'exponentielle égale à espace 800 espace droit m à carré

Par conséquent, la surface totale du toit est de 800 m.². Si chaque mètre carré a besoin de 20 tuiles, en utilisant une simple règle de trois, nous calculons combien de tuiles remplissent le toit de chaque entrepôt.

$ligne de tableau avec cellule avec 1 espace droit m carré fin de cellule moins cellule avec 20 tuiles d'espace fin de cellule rangée avec cellule avec 800 espace droit m carré fin de cellule moins droit x ligne avec blanc vide ligne vide avec x droit égal à la cellule avec numérateur 20 cases d'espace espace droit x espace 800 espace barré en diagonale sur m carré extrémité barrée sur dénominateur 1 espace barré en diagonale vers le haut sur m carré fin de barré fin de fraction fin de ligne de cellule avec x droit est égal à cellule avec 16000 tuiles d'espace fin de cellule fin de tableau$

Par conséquent, il sera nécessaire d'acheter 16 000 tuiles.

Voir aussi: Zone rectangulaire

question 11

Marcia aimerait deux vases en bois identiques pour décorer l'entrée de sa maison. Parce qu'elle ne pouvait acheter qu'un de ses favoris, elle a décidé d'engager un ébéniste pour construire un autre vase avec les mêmes dimensions. Le vase doit avoir quatre côtés en forme de trapèze isocèle et la base est un carré.

Sans tenir compte de l'épaisseur du bois, combien de mètres carrés de bois faudra-t-il pour reproduire la pièce ?

a) 0,2131 m²
b) 0,1311 m²
c) 0,2113 m²
d) 0,3121 m²

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Alternative correcte: d) 0,3121 m².

Un trapèze isocèle est le type qui a des côtés égaux et des bases de tailles différentes. D'après l'image, nous avons les mesures suivantes du trapèze de chaque côté du vaisseau :

Base plus petite (b): 19 cm ;
Base plus grande (B): 27 cm ;
Hauteur (h): 30 cm.

Avec les valeurs en main, on calcule l'aire du trapèze :

$droit Un espace est égal à l'espace du numérateur parenthèse gauche droite B espace plus espace droit b parenthèse droite espace. espace droit h au-dessus du dénominateur 2 fin de l'espace de fraction égal à l'espace numérateur parenthèse gauche 27 espace cm espace plus espace 19 espace cm parenthèse droite espace. espace 30 espace cm sur dénominateur 2 fin de fraction espace égal à espace numérateur 1380 espace cm carré sur dénominateur 2 fin de fraction espace égal à espace 690 espace cm carré$

Comme le vaisseau est formé de quatre trapèzes, il faut multiplier la surface trouvée par quatre.

4 espace droit x espace 690 espace cm carré espace égal à espace 2760 espace cm carré

Nous devons maintenant calculer la base du vase, qui est formée par un carré de 19 cm.

droit Un espace est égal à un espace droit L espace. espace droit L espace égal à l'espace 19 espace cm espace droit x espace 19 espace cm espace égal à l'espace 361 espace cm carré

En additionnant les surfaces calculées, nous arrivons à la surface totale de bois à utiliser pour construire.

droit A avec droit t indice espace égal à espace 2760 espace cm carré espace plus espace 361 espace cm carré espace égal à espace 3121 espace cm carré

Cependant, la superficie doit être présentée en mètres carrés.

3121 espace cm carré espace deux points espace 10000 espace égal à espace 0 virgule 3121 espace droit m carré

Par conséquent, sans tenir compte de l'épaisseur du bois, 0,3121 m était nécessaire² de matière pour fabriquer le vase.

Voir aussi: Superficie carrée

question 12

Pour faciliter le calcul du nombre de personnes participant à des événements publics, on considère généralement qu'un mètre carré est occupé par quatre personnes.

Exercice sur une zone de silhouette plate

Pour célébrer l'anniversaire d'une ville, le gouvernement municipal a engagé un groupe pour jouer sur la place située au centre, qui a une superficie de 4000 m². Sachant que la place était bondée, combien de personnes environ ont assisté à l'événement ?

a) 16 000 personnes.
b) 32 000 personnes.
c) 12 mille personnes.
d) 40 000 personnes.

Voir la réponse

Alternative correcte: a) 16 000 personnes.

Un carré a quatre côtés égaux et son aire est calculée par la formule: A = L x L.

si dans 1 m² il est occupé par quatre personnes, donc 4 fois la superficie totale de la place nous donne l'estimation des personnes qui ont assisté à l'événement.