LES loi des péchés détermine que dans tout triangle, la relation sinusoïdale d'un angle est toujours proportionnelle à la mesure du côté opposé à cet angle.
Ce théorème démontre que dans le même triangle le rapport entre la valeur d'un côté et le sinus de son angle opposé sera toujours constant.
Ainsi, pour un triangle ABC de côtés a, b, c, la loi des péchés admet les relations suivantes :
Représentation des lois des péchés dans le triangle
Exemple
Pour mieux comprendre, calculons la mesure des côtés AB et BC de ce triangle, en fonction de la mesure b du côté AC.
Par la loi des sinus, on peut établir la relation suivante :
Par conséquent, AB = 0,816b et BC = 1,115b.
Noter: Les valeurs de sinus ont été consultées dans tableau des rapports trigonométriques. On y trouve les valeurs des angles de 1º à 90º de chaque fonction trigonométrique (sinus, cosinus et tangente).
Les angles de 30º, 45º et 60º sont les plus utilisés dans les calculs trigonométriques. Par conséquent, ils sont appelés angles remarquables. Consultez un tableau avec les valeurs ci-dessous :
| Relations trigonométriques | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| Sinus | 1/2 | √2/2 | √3/2 |
| cosinus | √3/2 | √2/2 | 1/2 |
| Tangente | √3/3 | 1 | √3 |
Application de la loi des péchés
Nous utilisons la loi des sinus dans les triangles aigus, où les angles internes sont inférieurs à 90º (aigu); ou en triangles obtus, qui ont des angles internes supérieurs à 90º (obtus). Dans ces cas, vous pouvez également utiliser le Loi du cosinus.
L'objectif principal de l'utilisation de la loi des péchés ou des cosinus est de découvrir les mesures des côtés d'un triangle ainsi que ses angles.
Représentation des triangles selon leurs angles internes
Et la loi des péchés dans le triangle rectangle ?
Comme mentionné ci-dessus, la loi des péchés est utilisée dans les triangles aigus et obtus.
Dans les triangles rectangles, formés par un angle interne de 90º (droit), nous avons utilisé le théorème de Pythagore et les relations entre ses côtés: opposé, côté adjacent et hypoténuse.
Représentation du triangle rectangle et de ses côtés
Ce théorème a l'énoncé suivant: "la somme des carrés de vos jambes correspond au carré de votre hypoténuse". Sa formule s'exprime :
H2 = ca2 + co2
Ainsi, lorsque nous avons un triangle rectangle, le sinus sera le rapport entre la longueur de la jambe opposée et la longueur de l'hypoténuse :
Il se lit en face sur l'hypoténuse.
Le cosinus correspond à la proportion entre la longueur de la jambe adjacente et la longueur de l'hypoténuse, représentée par l'expression :
Il est lu à côté de l'hypoténuse.
Exercices d'examen d'entrée
1.(UFPB) L'hôtel de ville d'une certaine ville construira, sur une rivière qui traverse cette ville, un pont qui doit être rectiligne et relier deux points, A et B, situés sur les rives opposées de la rivière. Pour mesurer la distance entre ces points, un géomètre a localisé un troisième point, C, à 200 m du point A et sur la même rive de la rivière que le point A. À l'aide d'un théodolite (instrument de précision pour mesurer les angles horizontaux et les angles verticaux, souvent utilisé dans les travaux topographiques), le géomètre a observé que les angles mesurés, respectivement, 30º et 105º, comme illustré dans la figure suivante.
Sur la base de ces informations, il est correct d'affirmer que la distance, en mètres, du point A au point B est :
objectif: Déterminer la mesure de AB.
Idée 1 - Loi des péchés pour déterminer AB
La figure forme le triangle ABC, où le côté AC mesure 200 m et nous avons deux angles déterminés.
étant l'angle opposé au côté AC de 200 m et l'angle C opposé au côté AB, on peut déterminer AB par le loi sur les péchés.
LES loi sur les péchés détermine que les rapports entre les mesures des côtés et les sinus des angles opposés, respectifs à ces côtés, sont égaux dans le même triangle.
Idée 2 - déterminer l'angle
La somme des angles intérieurs d'un triangle est de 180°, on peut donc déterminer l'angle B.
B + 105° + 30° = 180°
B = 180° - 105° - 30°
B = 45°
Remplacer la valeur de dans la loi des sinus et faire les calculs.
Notez qu'il y a une racine carrée dans un dénominateur. Prenons cette racine en faisant la rationalisation, qui est la multiplication à la fois du dénominateur et du numérateur de la fraction par la racine elle-même.
En remplaçant la valeur AC, on a :
Par conséquent, la distance entre les points A et B est .
2. (Mackenzie – SP) Trois îles A, B et C apparaissent sur une carte à l'échelle 1:10000, comme le montre la figure. Parmi les alternatives, celle qui se rapproche le mieux de la distance entre les îles A et B est :
a) 2,3 km
b) 2,1 km
c) 1,9 km
d) 1,4 km
e) 1,7 km
Bonne réponse: e) 1,7 km
Objectif: Déterminer la mesure du segment AB.
Idée 1: Utiliser la loi des sinus pour trouver la mesure de AB
Loi des péchés: Les mesures des côtés d'un triangle sont proportionnelles aux sinus de leurs angles opposés.
Idée 2: déterminer l'angle
La somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à 180º.
30 + 105 + C = 180
135 + C = 180
C = 180 - 135
C = 45
Idée 3: Appliquer la valeur de C dans la loi des sinus
Idée 4: approximez la valeur de la racine carrée et utilisez l'échelle
Fabrication
12. 1,4 = 16,8
L'échelle indique 1:10000, en multipliant :
16,8. 10000 = 168 000 cm
Idée 5: passer du cm au km
168 000 cm/100 000 = 1,68 km
Conclusion: Comme la distance calculée est de 1,68 km, l'alternative la plus proche est la lettre e.
Remarque: Pour passer du cm au km, on divise par 100 000 car, sur l'échelle suivante, du centimètre au km, on compte 5 places à gauche.
km -5- hm -4- barrage -3- m -2- dm -1- cm mm
3. (Unifor-CE) On sait que dans chaque triangle, la mesure de chaque côté est directement proportionnelle au sinus de l'angle opposé au côté. En utilisant ces informations, il est conclu que la mesure du côté AB du triangle ci-dessous est :
La déclaration fournit la loi des sinus.
De la trigonométrie, nous avons ceci: sin 120 = sin 60.
Remplacement des valeurs dans la formule :
Afin de ne pas laisser de racine au dénominateur, nous utilisons la rationalisation en multipliant le dénominateur et le numérateur par la racine de 3.
Par conséquent, la mesure du côté AB est .
En savoir plus sur le sujet:
- Sinus, cosinus et tangente
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- Fonctions trigonométriques
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