Loi des péchés: application, exemple et exercices

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LES loi des péchés détermine que dans tout triangle, la relation sinusoïdale d'un angle est toujours proportionnelle à la mesure du côté opposé à cet angle.

Ce théorème démontre que dans le même triangle le rapport entre la valeur d'un côté et le sinus de son angle opposé sera toujours constant.

Ainsi, pour un triangle ABC de côtés a, b, c, la loi des péchés admet les relations suivantes :

loi sur les péchés

Représentation des lois des péchés dans le triangle

Exemple

Pour mieux comprendre, calculons la mesure des côtés AB et BC de ce triangle, en fonction de la mesure b du côté AC.

exemple de la loi des sinus

Par la loi des sinus, on peut établir la relation suivante :

Exemple 1
exemple 2
exemple 3

Par conséquent, AB = 0,816b et BC = 1,115b.

Noter: Les valeurs de sinus ont été consultées dans tableau des rapports trigonométriques. On y trouve les valeurs des angles de 1º à 90º de chaque fonction trigonométrique (sinus, cosinus et tangente).

Les angles de 30º, 45º et 60º sont les plus utilisés dans les calculs trigonométriques. Par conséquent, ils sont appelés angles remarquables. Consultez un tableau avec les valeurs ci-dessous :

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Relations trigonométriques 30° 45° 60°
Sinus 1/2 √2/2 √3/2
cosinus √3/2 √2/2 1/2
Tangente √3/3 1 √3

Application de la loi des péchés

Nous utilisons la loi des sinus dans les triangles aigus, où les angles internes sont inférieurs à 90º (aigu); ou en triangles obtus, qui ont des angles internes supérieurs à 90º (obtus). Dans ces cas, vous pouvez également utiliser le Loi du cosinus.

L'objectif principal de l'utilisation de la loi des péchés ou des cosinus est de découvrir les mesures des côtés d'un triangle ainsi que ses angles.

triangles et angles

Représentation des triangles selon leurs angles internes

Et la loi des péchés dans le triangle rectangle ?

Comme mentionné ci-dessus, la loi des péchés est utilisée dans les triangles aigus et obtus.

Dans les triangles rectangles, formés par un angle interne de 90º (droit), nous avons utilisé le théorème de Pythagore et les relations entre ses côtés: opposé, côté adjacent et hypoténuse.

triangle rectangle

Représentation du triangle rectangle et de ses côtés

Ce théorème a l'énoncé suivant: "la somme des carrés de vos jambes correspond au carré de votre hypoténuse". Sa formule s'exprime :

H2 = ca2 + co2

Ainsi, lorsque nous avons un triangle rectangle, le sinus sera le rapport entre la longueur de la jambe opposée et la longueur de l'hypoténuse :

sinus

Il se lit en face sur l'hypoténuse.

Le cosinus correspond à la proportion entre la longueur de la jambe adjacente et la longueur de l'hypoténuse, représentée par l'expression :

cosinus

Il est lu à côté de l'hypoténuse.

Exercices d'examen d'entrée

1.(UFPB) L'hôtel de ville d'une certaine ville construira, sur une rivière qui traverse cette ville, un pont qui doit être rectiligne et relier deux points, A et B, situés sur les rives opposées de la rivière. Pour mesurer la distance entre ces points, un géomètre a localisé un troisième point, C, à 200 m du point A et sur la même rive de la rivière que le point A. À l'aide d'un théodolite (instrument de précision pour mesurer les angles horizontaux et les angles verticaux, souvent utilisé dans les travaux topographiques), le géomètre a observé que les angles B C avec conjonction logique en exposant A espace et espace C A avec conjonction logique en exposant B mesurés, respectivement, 30º et 105º, comme illustré dans la figure suivante.

Sur la base de ces informations, il est correct d'affirmer que la distance, en mètres, du point A au point B est :

a parenthèse droite espace 200 racine carrée de 2 espace extrémité de racine b espace parenthèse droite 180 racine carrée de 2 espace extrémité de racine c parenthèse espace droit 150 racine carrée de 2 espace d parenthèse droite espace 100 racine carrée de 2 espace et parenthèse droite espace 50 racine carrée de 2
R e s post a space c o r r e t a deux-points space d right parenthesis space 100 racine carrée de 2

objectif: Déterminer la mesure de AB.

Idée 1 - Loi des péchés pour déterminer AB

La figure forme le triangle ABC, où le côté AC mesure 200 m et nous avons deux angles déterminés.

étant l'angle B avec conjonction logique en exposant opposé au côté AC de 200 m et l'angle C opposé au côté AB, on peut déterminer AB par le loi sur les péchés.

numérateur A B sur le dénominateur s et n espace signe de 30 degrés fin de l'espace de fraction égal à l'espace numérateur A C à propos du dénominateur s et n espace début style afficher B avec conjonction logique exposant fin style fin de fraction

LES loi sur les péchés détermine que les rapports entre les mesures des côtés et les sinus des angles opposés, respectifs à ces côtés, sont égaux dans le même triangle.

Idée 2 - déterminer l'angle B avec conjonction logique en exposant

La somme des angles intérieurs d'un triangle est de 180°, on peut donc déterminer l'angle B.

B + 105° + 30° = 180°
B = 180° - 105° - 30°
B = 45°

Remplacer la valeur de B avec conjonction logique en exposant dans la loi des sinus et faire les calculs.

numérateur A B espace sur dénominateur s et n espace signe de 30 degrés fin de l'espace de fraction égal à numérateur espace A C sur dénominateur espace s et n espace B fin de l'espace du numérateur de fraction A B sur le dénominateur s et l'espace n signe de 30 degrés fin de l'espace de fraction égal à l'espace du numérateur A C sur l'espace du dénominateur s e n espace signe de 45 degrés fin du numérateur de fraction A B espace sur le dénominateur style de début afficher 1 demi-fin de style fin de fraction espace égal à espace du numérateur A C sur l'espace du dénominateur style de début afficher la racine carrée du numérateur de 2 sur le dénominateur 2 fin de fraction fin de style fin de fraction 2 A espace B égal au numérateur 2 A C sur la racine carrée du dénominateur de 2 fin de la fraction A B espace égal au numérateur A C sur la racine carrée du dénominateur de 2 fin de fraction

Notez qu'il y a une racine carrée dans un dénominateur. Prenons cette racine en faisant la rationalisation, qui est la multiplication à la fois du dénominateur et du numérateur de la fraction par la racine elle-même.

A B espace égal au numérateur A C sur la racine carrée du dénominateur de 2 fin de l'espace de fraction égal à l'espace numérateur A C espace. espace racine carrée de 2 sur la racine carrée du dénominateur de l'espace 2. espace de racine carrée de 2 fin de l'espace de fraction égal à l'espace du numérateur Un espace C. espace racine carrée de 2 sur la racine carrée du dénominateur de 4 fin de l'espace de fraction égal à l'espace du numérateur A C espace. espace racine carré de 2 sur le dénominateur 2 fin de fraction

En remplaçant la valeur AC, on a :

Un espace B égal à l'espace du numérateur 200. espace racine carrée de 2 sur le dénominateur 2 fin de la fraction espace égal à l'espace 100 racine carrée de 2

Par conséquent, la distance entre les points A et B est 100 racine carrée de 2 m d'espace.

2. (Mackenzie – SP) Trois îles A, B et C apparaissent sur une carte à l'échelle 1:10000, comme le montre la figure. Parmi les alternatives, celle qui se rapproche le mieux de la distance entre les îles A et B est :

a) 2,3 km
b) 2,1 km
c) 1,9 km
d) 1,4 km
e) 1,7 km

Bonne réponse: e) 1,7 km

Objectif: Déterminer la mesure du segment AB.

Idée 1: Utiliser la loi des sinus pour trouver la mesure de AB

Loi des péchés: Les mesures des côtés d'un triangle sont proportionnelles aux sinus de leurs angles opposés.

numérateur 12 sur dénominateur s et n espace 30 fin de l'espace de fraction égal à l'espace numérateur A B sur dénominateur espace s et n espace début style afficher C avec conjonction logique exposant fin style fin de fraction d'espace

Idée 2: déterminer l'angle C avec conjonction logique en exposant

La somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à 180º.

30 + 105 + C = 180
135 + C = 180
C = 180 - 135
C = 45

Idée 3: Appliquer la valeur de C dans la loi des sinus

numérateur 12 sur dénominateur s et n espace 30 fin de l'espace de fraction égal à l'espace numérateur A B sur dénominateur espace s et n espace début style affiche 45 fin de style fin de fraction espace 12 espace. espace s et n espace 45 espace égal à l'espace A B espace. espace s et n espace 30 12 espace. espace numérateur racine carrée de 2 sur le dénominateur 2 fin de l'espace de fraction égal à l'espace A B espace. espace 1 milieu 6 racine carrée de 2 espace égal au numérateur A B sur le dénominateur 2 fin de fraction 12 racine carrée de 2 espace égal à l'espace A B

Idée 4: approximez la valeur de la racine carrée et utilisez l'échelle

Fabrication racine carrée de 4 espace approximativement égal 1 virgule 4

12. 1,4 = 16,8

L'échelle indique 1:10000, en multipliant :

16,8. 10000 = 168 000 cm

Idée 5: passer du cm au km

168 000 cm/100 000 = 1,68 km

Conclusion: Comme la distance calculée est de 1,68 km, l'alternative la plus proche est la lettre e.

Remarque: Pour passer du cm au km, on divise par 100 000 car, sur l'échelle suivante, du centimètre au km, on compte 5 places à gauche.

km -5- hm -4- barrage -3- m -2- dm -1- cm mm

3. (Unifor-CE) On sait que dans chaque triangle, la mesure de chaque côté est directement proportionnelle au sinus de l'angle opposé au côté. En utilisant ces informations, il est conclu que la mesure du côté AB du triangle ci-dessous est :

a parenthèse droite espace 12 racine carrée de 6 espace m b parenthèse droite espace 12 racine carrée de 3 espace m c parenthèse droite espace 8 racine carrée de 6 m espace d parenthèse droite espace 8 racine carrée de 3 m espace et parenthèse droite espace 4 racine carrée de 6 m espace
R e s post un espace c o r r e t un espace deux-points et une parenthèse droite espace 4 racine carrée de 6 espace m.

La déclaration fournit la loi des sinus.

numérateur 12 sur le dénominateur s et n espace 120 fin de fraction espace égal à l'espace numérateur A B sur dénominateur s et n espace 45 fin de fraction

De la trigonométrie, nous avons ceci: sin 120 = sin 60.

Remplacement des valeurs dans la formule :

numérateur 12 sur le dénominateur s et n espace 120 fin de fraction espace égal à l'espace numérateur A B sur dénominateur s et n espace 45 fin de fraction numérateur 12 au-dessus du dénominateur début du style afficher la racine carrée du numérateur de 3 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction fin du style fin de l'espace des fractions égal au numérateur A B au-dessus du dénominateur début du style afficher la racine carrée du numérateur de 2 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction fin du style fin de la fraction 12 places. espace numérateur racine carrée de 2 sur le dénominateur 2 fin de l'espace de fraction égal à l'espace A B espace. numérateur espace racine carrée de 3 sur le dénominateur 2 fin de fraction 12 racine carrée de 2 espace égale à l'espace A B racine carrée de 3 A B espace égal à l'espace 12 numérateur racine carrée de 2 sur dénominateur racine carrée de 3 fin de fraction

Afin de ne pas laisser de racine au dénominateur, nous utilisons la rationalisation en multipliant le dénominateur et le numérateur par la racine de 3.

Un espace B égal à la racine carrée du numérateur de l'espace 12 de 2 sur le dénominateur racine carrée de la fraction de fin d'espace. espace du numérateur racine carrée de 3 sur le dénominateur racine carrée de 3 fin de l'espace de fraction égal à l'espace 12 numérateur racine carrée de 6 sur le dénominateur racine carrée de 9 espace de fin de fraction égal à l'espace 12 racine carrée du numérateur de 3 sur le dénominateur 3 espace de fin de fraction égal à l'espace 4 racine carrée de 3

Par conséquent, la mesure du côté AB est 4 racine carrée de 6 m d'espace .

En savoir plus sur le sujet:

  • Sinus, cosinus et tangente
  • Trigonométrie
  • Relations trigonométriques
  • Cercle trigonométrique
  • Fonctions trigonométriques
  • Rapports trigonométriques
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