nous appelons nombre premier une entier naturel quelle a deux diviseurs: 1 et lui-même. Pour trouver les nombres premiers, le tamis d'Eratosthène a été développé. Lorsqu'un nombre n'est pas premier, nous pouvons l'écrire comme la multiplication de nombres premiers, un processus appelé factorisation.
A lire aussi: Quelle est la valeur d'un chiffre ?
Comment savoir si un nombre est premier ?
La recherche de nombres premiers est assez courante en mathématiques. Lorsque nous divisons un nombre par un autre et que le résultat est exact, c'est-à-dire qu'il ne laisse aucun reste, ce nombre est appelé diviseur. Pour déterminer si un nombre est premier ou non, nous devons connaître les diviseurs de ce nombre. Si ce nombre a exactement deux diviseurs: 1 et lui-même, il est cousin; sinon il n'est pas premier.
Un nombre est appelé nombre premier lorsqu'il a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même. |
Exemple
Le nombre 12 n'est pas premier, car les nombres qui divisent 12 sont :
D(12) = 1,2,3,4,6 et 12
Le nombre 17 est premier, car les diviseurs de 17 sont :
D(17) = 1,17.
Tamis d'Eratosthène
Trouver des nombres premiers n'est pas toujours une tâche facile. O méthode le plus utilisé pour cette tâche est le tamis d'Eratosthène, qui permet de trouver tous les nombres premiers entre deux nombres.
Trouvons, par exemple, les nombres premiers de 1 à 100 en utilisant cette méthode.
Nous allons lister tous les nombres de 1 à 100 de manière organisée. Voir:
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Nous savons que 1 n'a qu'un seul diviseur, ce n'est donc pas un nombre premier. Nous savons aussi que 2 a 2 diviseurs, 1 et lui-même, donc 2 est premier. Maintenant les autres numéros de paire ils sont tous divisibles par 2, donc ce ne sont pas des nombres premiers. Marquons donc tous les autres nombres pairs et le nombre 1 dans la liste.
D'après les nombres laissés en noir, nous savons que 3 n'a que deux diviseurs, il est donc premier. Cependant, les chiffres multiples de 3, comme les 6,9,12,15…, ne sont pas des nombres premiers. Nous allons maintenant marquer tous les nombres multiples de 3 qui restent dans la liste.
Nous savons que le nombre 5 est premier, mais les multiples de 5 (qui sont des nombres se terminant par 5 ou 0) ne le sont pas, car 5 est un diviseur de ces nombres. Alors marquons aussi ces chiffres.
Le nombre 7 est premier. En utilisant le même raisonnement, nous marquerons les multiples de 7 qui n'ont pas encore été marqués.
Sachant maintenant que 11 est premier, cherchons les nombres multiples de 11, car il n'y a pas de nombre multiple de 11, nous savons que nous avons fini le tamis.
Les nombres restants sont des nombres premiers, donc les nombres premiers de 1 à 100 sont: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.
Observation: Si nous voulons trouver les nombres premiers entre des nombres plus grands, comme les nombres premiers de 1 à 200 ou de 1 à 500, le le processus se poursuivra jusqu'à ce que nous trouvions un nombre premier qui n'a pas de multiple à rayer dans le tableau.
Voir aussi: Critères de divisibilité - processus qui facilitent l'opération de division
Factorisation
Un nombre qui n'est pas premier peut être factorisé, c'est-à-dire que nous pouvons effectuer ce que nous appelons un décomposition en facteurs premiers. Ce processus est utile pour calculer le MMC C'est le MDC.
Pour faire la décomposition, nous allons faire des divisions successives du nombre jusqu'à ce que nous obtenions 1.
Exemple
La décomposition de 72 en facteurs premiers est donc 2³.3².
Nombres premiers de 1 à 1000
Connaître tous les nombres premiers qui existent entre 1 et 1000.
2 |
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7 |
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13 |
17 |
19 |
23 |
29 |
31 |
37 |
41 |
43 |
47 |
53 |
59 |
61 |
67 |
71 |
73 |
79 |
83 |
89 |
97 |
101 |
103 |
107 |
109 |
113 |
127 |
131 |
137 |
139 |
149 |
151 |
157 |
163 |
167 |
173 |
179 |
181 |
191 |
193 |
197 |
199 |
211 |
223 |
227 |
229 |
233 |
239 |
241 |
251 |
257 |
263 |
269 |
271 |
277 |
281 |
283 |
293 |
307 |
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313 |
317 |
331 |
337 |
347 |
349 |
353 |
359 |
367 |
373 |
379 |
383 |
389 |
397 |
401 |
409 |
419 |
421 |
431 |
433 |
439 |
443 |
449 |
457 |
461 |
463 |
467 |
479 |
487 |
491 |
499 |
503 |
509 |
521 |
523 |
541 |
547 |
557 |
563 |
569 |
571 |
577 |
587 |
593 |
599 |
601 |
607 |
613 |
617 |
619 |
631 |
641 |
643 |
647 |
653 |
659 |
661 |
673 |
677 |
683 |
691 |
701 |
709 |
719 |
727 |
733 |
739 |
743 |
751 |
757 |
761 |
769 |
773 |
787 |
797 |
809 |
811 |
821 |
823 |
827 |
829 |
839 |
853 |
857 |
859 |
863 |
877 |
881 |
883 |
887 |
907 |
911 |
919 |
929 |
937 |
941 |
947 |
953 |
967 |
971 |
977 |
983 |
991 |
997 |
exercices résolus
Question 1 - La décomposition en facteurs premiers du nombre 720 est-elle égale à ?
A) 2³. 3². 5
B)2². 3³. 5
C) 2. 3. 5
D)2². 3. 5³
Résolution
Alternative A.
En effectuant la factorisation, nous devons :
Question 2 -Vérifiez la bonne déclaration :
A) Tout nombre impair est premier.
B) Tout nombre pair n'est pas premier.
C) 2 est le seul nombre pair premier.
D) 9 est le seul nombre impair qui n'est pas premier.
Résolution
Variante C.
a) Faux, car il y a des nombres premiers impairs et des nombres non premiers. Par exemple, 3 est premier, mais 15 ne l'est pas.
b) Faux, car il existe un seul nombre pair qui est premier, le nombre 2.
c) Vrai, car 2 est le seul nombre pair premier.
d) Faux, car il existe plusieurs autres nombres impairs qui ne sont pas premiers, tels que 15 mentionnés, 21, 39, entre autres.
