Division de nombres complexes

Toi nombres complexes sont ceux qui ont une part imaginaire, et parmi lesquels on peut aussi jouer opérations.

Il existe des moyens spécifiques pour résoudre chacun d'eux. Dans le cas de division des nombres complexes on utilise la notion de conjugué d'un nombre complexe.

Conjugué d'un nombre complexe :

Considérons un nombre complexe écrit sous forme algébrique $\dpi{120} \boldsymbol{z=a +bi}$ , alors, le conjugué de $\dpi{120} \boldsymbol{z}$ est représenté par $\dpi{120} \boldsymbol{\bar{z}}$ et est donné par :

$\dpi{120} \boldsymbol{\bar{z}=a -bi}$

Autrement dit, pour obtenir le conjugué, il suffit de changer le signe de la partie imaginaire du nombre complexe.

Cela dit, apprenons comment diviser des nombres complexes.

division des nombres complexes

Pour diviser un nombre complexe $\dpi{120} \boldsymbol{z_1}$ par un nombre complexe $\dpi{120} \boldsymbol{z_2}$ , il faut écrire la division sous la forme de fraction:

$\dpi{120} \boldsymbol{z_1:z_2=\frac{z_1}{z_2}}$

Puisque multiplier et diviser une fraction par le même nombre ne change pas le résultat final, alors nous divisons et multiplions la fraction par le conjugué du dénominateur.

$\dpi{120} \boldsymbol{\frac{z_1}{z_2}\cdot \frac{\bar{z_2}}{\bar{z_2}}}$

Nous substituons ensuite les termes et multiplions les fractions.

Exemple: si $\dpi{120} \boldsymbol{z_1=2 -3i}$ et $\dpi{120} \boldsymbol{z_2=4 +2i}$ , quelle est la valeur de $\dpi{120} \boldsymbol{z_1:z_2}$ ?

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$\dpi{120} \boldsymbol{\frac{z_1}{z_2}\cdot \frac{\bar{z_2}}{\bar{z_2}}}$

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$\dpi{120} \boldsymbol{\frac{(2-3i)}{(4+2i)}\cdot \frac{(4-2i)}{(4-2i)}}$

$\dpi{120} \boldsymbol{\frac{8-4i-12i+6i^2}{16-8i+8i-4i^2}}$

$\dpi{120} \boldsymbol{\frac{8-16i+6i^2}{16-4i^2}}$

Se souvenir que $\dpi{120} \boldsymbol{i^2 = -1}$ , on a:

$\dpi{120} \boldsymbol{\frac{8-16i+6\cdot (-1)}{16-4\cdot (-1)}}$

$\dpi{120} \boldsymbol{\frac{8-16i-6}{16+4}}$

$\dpi{120} \boldsymbol{\frac{2-16i}{20}}$

On peut simplifier ce résultat :

$\dpi{120} \boldsymbol{\frac{2-16i}{20}= \frac{1}{10}-\frac{4}{5}i}$

Formule de division des nombres complexes

D'une manière générale, pour et $\dpi{120} \boldsymbol{z_1=a +bi}$ et $\dpi{120} \boldsymbol{z_2=c +di}$ , vous pouvez vérifier une formule pour diviser des nombres complexes :

$\dpi{120} \boldsymbol{z_1:z_2=\frac{z_1}{z_2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+ d^2}i}$

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