Angle entre deux vecteurs

En mathématiques ou en physique, le vecteurs elles sont segments droits avec la direction, la direction et la longueur, qui sont utilisées pour représenter des quantités telles que la force, la vitesse et l'accélération.

Les vecteurs indiquent des trajectoires et peuvent être définis à l'aide d'un système de coordonnées (x, y). En considérant le point (0,0) comme origine du segment, la figure ci-dessous montre un vecteur $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{u}}$ dont la fin est le point $\dpi{120} \boldsymbol{ $x_1, y_1$}$ .

Notation: $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{u}= $x_1, y_1$}$ .

l'ordonné $\dpi{120} \boldsymbol{x_1}$ est appelée composante horizontale et l'abscisse $\dpi{120} \boldsymbol{y_1}$ , de composante verticale.

Considérons maintenant, en plus du vecteur $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{u}= $x_1, y_1$}$ , un autre vecteur $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{v}= $x_2, y_2$}$ et un angle formé entre eux, comme le montre la figure ci-dessous.

Cet angle entre les vecteurs peut être calculé par une formule qui implique le produit scalaire entre les vecteurs et la norme (longueur) de chaque vecteur.

Angle entre deux vecteurs

Deux dés vectoriels $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{u}= $x_1, y_1$}$ et $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{v}= $x_2, y_2$}$ , le cosinus de l'angle $\dpi{120} \boldsymbol{\theta}$ parmi eux est lié au produit interne entre les vecteurs et leurs étalons comme suit :

$\dpi{120} \boldsymbol{cos\, \theta = \frac{\left \langle \vec{u}, \vec{v} \right \rangle}{\|\vec{u} \|.\| \vec{v} \| }}$

Le numérateur de la fraction est le produit scalaire entre les vecteurs, donné par :

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$\dpi{120} \boldsymbol{\left \lange \vec{u}, \vec{v} \, \right \rangle = x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2}$

Et le dénominateur est le produit entre les standards de chacun des vecteurs, comme suit :

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$\dpi{120} \boldsymbol{\|\vec{u}\|= \sqrt{(x_1)^2+ (y_1)^2}}$

$\dpi{120} \boldsymbol{\|\vec{v}\|= \sqrt{(x_2)^2+ (y_2)^2}}$

En procédant au remplacement, nous avons vérifié que le formule d'angle entre deux vecteurs é:

$\dpi{120} \boldsymbol{cos\, \theta = \frac{x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2}{\sqrt{(x_1)^2+(y_1)^2} \cdot \sqrt{(x_2 ) )^2+(y_2)^2}}}$

Exemple:

Calculer l'angle entre les vecteurs $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{u}= $2,4$}$ et $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{v}= $5,3$}$ .

En appliquant les valeurs de la formule, nous devons :

$\dpi{120} \boldsymbol{cos\, \theta = \frac{2\cdot 5+4\cdot 3}{\sqrt{(2)^2+(4)^2} \cdot \sqrt{(5 )^2+(3)^2}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{cos\, \theta = \frac{10+12}{\sqrt{4+16} \cdot \sqrt{25+9}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{cos\, \theta = \frac{22}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{34}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{\theta = cos^{-1}\left (\frac{22}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{34}} \right ) }$

À l'aide d'une calculatrice ou d'un table trigonométrique, on peut voir ça:

$\dpi{120} \boldsymbol{ \theta = 32.47^{\circ}}$

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