Le théorème de D'Alembert

Le théorème de D'Alembert est une conséquence immédiate du théorème des restes, qui concerne la division d'un polynôme par un binôme de type x – a. Le théorème des restes dit qu'un polynôme G(x) divisé par un binôme x - a aura un reste R égal à P(a), pour
x = a. Le mathématicien français D'Alembert a prouvé, en tenant compte du théorème cité ci-dessus, qu'un polynôme tout Q(x) sera divisible par x – a, c'est-à-dire que le reste de la division sera égal à zéro (R = 0) si P(a) = 0.
Ce théorème a facilité le calcul de la division du polynôme par le binôme (x –a), il n'est donc pas nécessaire de résoudre toute la division pour savoir si le reste est égal ou différent de zéro.
Exemple 1
Calculer le reste de la division (x² + 3x – 10): (x – 3).
Comme le dit le théorème de D'Alembert, le reste (R) de cette division sera égal à :
P(3) = R
3² + 3 * 3 – 10 = R
9 + 9 - 10 = R
18 - 10 = R
R = 8
Le reste de cette division sera donc 8.
Exemple 2
Vérifiez si x⁵ – 2x⁴ + x³ + x – 2 est divisible par x – 1.
D'après D'Alembert, un polynôme est divisible par un binôme si P(a) = 0.

P(1) = (1)⁵ – 2*(1)⁴ + (1)³ + (1) – 2
P(1) = 1 - 2 + 1 + 1 - 2
P(1) = 3 - 4
P(1) = – 1
Puisque P(1) est non nul, le polynôme ne sera pas divisible par le binôme x – 1.
Exemple 3
Calculer la valeur de m pour que le reste de la division du polynôme
P(x) = x⁴ – mx³ + 5x² + x – 3 par x – 2 est 6.
Nous avons cela, R = P(x) → R = P(2) → P(2) = 6
P(2) = 2⁴ – m*2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ – m*2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16 – 8m + 20 + 2 – 3 = 6
– 8m = 6 – 38 + 3
– 8m = 9 – 38
– 8m = – 29
m = 29/8
Exemple 4
Calculer le reste de la division du polynôme 3x³ + x² – 6x + 7 par 2x + 1.
R = P(x) → R = P(– 1/2)
R = 3*(–1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3*(–1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

par Mark Noah
Diplômé en Mathématiques
Équipe scolaire du Brésil

Polynômes - Math - École du Brésil

La source: École du Brésil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm