Kartioalueen laskenta: kaavat ja harjoitukset

THE kartion alue se viittaa tämän spatiaalisen geometrisen kuvan pinnan mittaan. Muista, että kartio on geometrinen kiinteä aine, jolla on pyöreä pohja ja piste, jota kutsutaan kärjeksi.

Kaavat: Kuinka laskea?

Kartiossa on mahdollista laskea kolme aluetta:

Perusalue

THE_B =π.r²

Missä:

THE_B: peruspinta-ala
π (pi): 3.14
r: salama

Sivualue

THE_siellä = π.r.g

Missä:

THE_siellä: sivualue
π (pi): 3.14
r: salama
g: generaattori

Merkintä: A generatrix vastaa kartion sivun mittaa. Sen muodostaa mikä tahansa segmentti, jonka toinen pää on kärjessä ja toinen pohjassa, se lasketaan kaavalla: g² = h² + r² (oleminen H kartion korkeus ja r salama)

Kokonaisalue

At = π.r (g + r)

Missä:

THE_t: kokonaisalue
π (pi): 3.14
r: salama
g: generaattori

Kartion runkoalue

Niin sanottu “kartion runko” vastaa osaa, joka sisältää tämän kuvan pohjan. Joten jos jaamme kartion kahteen osaan, meillä on yksi, joka sisältää kärjen, ja toinen, joka sisältää pohjan.

Jälkimmäistä kutsutaan "kartion rungoksi". Pinta-alan suhteen on mahdollista laskea:

Pieni tukialue (A_B)

THE_B = π.r²

Suurin tukialue (A_B)

THE_B = π.R²

Sivualue (A_siellä)

THE_siellä = π.g. (R + R)

Kokonaispinta-ala (A_t)

THE_t = A_B + A_B + A_siellä

Ratkaistut harjoitukset

1. Mikä on suoran pyöreän kartion sivupinta-ala ja kokonaispinta-ala, jonka korkeus on 8 cm ja pohjasäde 6 cm?

Resoluutio

Ensin meidän on laskettava tämän kartion generatriisi:

g = r² + h²
g = √6² + 8²
g = √36 + 64
g = √100
g = 10 cm

Sen jälkeen voimme laskea sivupinta-alan kaavalla:

THE_siellä = π.r.g
THE_siellä = π.6.10
THE_siellä = 60π cm²

Kokonaispinta-alan kaavan mukaan meillä on:

THE_t = π.r (g + r)
At = π.6 (10 + 6)
At = 6π (16)
At = 96π cm²

Voisimme ratkaista sen toisella tavalla, toisin sanoen lisäämällä sivun ja pohjan alueet:

THE_t = 60π + π.6²
THE_t = 96π cm²

2. Etsi kartion rungon kokonaispinta-ala, joka on 4 cm korkea, suurempi pohja on 12 cm: n ympyrä ja pienempi pohja on 8 cm: n ympyrä.

Resoluutio

Tämän kartiorungon kokonaispinta-alan löytämiseksi on löydettävä suurimman pohjan, pienimmän ja jopa sivun alueet.

Lisäksi on tärkeää muistaa halkaisijan käsite, joka on kaksinkertainen säteen mittaus (d = 2r). Joten kaavoilla meillä on:

Pieni tukialue

THE_B = π.r²
THE_B = π.4²
THE_B = 16π cm²

Suurin tukialue

THE_B = π.R²
THE_B = π.6²
THE_B = 36π cm²

Sivualue

Ennen sivupinta-alan löytämistä meidän on löydettävä kuvan generatriisin mitta:

g² = (R - r)² + h²
g² = (6 – 4)² + 4²
g² = 20
g = √20
g = 2√5

Kun se on valmis, vaihdetaan sivupinta-alan kaavan arvot:

THE_siellä = π.g. (R + R)
THE_siellä = π. 2√5. (6 + 4)
THE_siellä = 20π√5 cm²

Kokonaisalue

THE_t = A_B + A_B + A_siellä
THE_t = 36π + 16π + 20π√5
THE_t = (52 + 20√5) π cm²

Valintakokeen harjoitukset palautteella

1. (UECE) Suora pyöreä kartio, jonka korkeus on H, on leikattu alustan kanssa yhdensuuntaisen tason avulla kahteen osaan: kartio, jonka korkeus on h / 5, ja kartion runko kuvan osoittamalla tavalla:

Suuremman ja pienemmän kartion tilavuuden mittausten suhde on:

a) 15
b) 45
c) 90
d) 125

Katso Vastaus

Vaihtoehto d: 125

2. (Mackenzie-SP) Hajuvesipullo, jonka suoran pyöreän kartion muoto on 1 cm ja 3 cm säde, on täysin täynnä. Sen sisältö kaadetaan astiaan, joka on muotoiltu suoraksi pyöreäksi sylinteriksi, jonka säde on 4 cm, kuten kuvassa on esitetty.

jos d on sylinterimäisen astian täyttämättömän osan korkeus ja olettaen, että π = 3, d: n arvo on:

a) 10/6
b) 6/11
c) 12/6
d) 13/6
e) 6/14

Katso Vastaus

Vaihtoehto b: 6/11

3. (UFRN) Tasapuolinen kartion muotoinen lamppu on pöydällä, joten sytyttäessään se heijastaa siihen valopyörän (katso alla oleva kuva)

Jos lampun korkeus pöydän suhteen on H = 27 cm, valaistun ympyrän pinta-ala cm² on yhtä suuri kuin:

a) 225π
b) 243π
c) 250π
d) 270π

Katso Vastaus

Vaihtoehto b: 243π

Lue myös:

• Kartio
• Kartiomäärä
• pi-numero