Eulerin relaatio on yhtälö, joka suhteuttaa konveksin monitahojen kärkien, reunojen ja pintojen lukumäärän. Se sanoo, että kasvojen lukumäärä plus kärkien lukumäärä on yhtä suuri kuin reunojen lukumäärä plus kaksi.
Euler-relaatio saadaan seuraavasti:
Missä,
F on kasvojen lukumäärä,
V kärkien lukumäärä,
THE reunojen lukumäärä.
Voimme käyttää Eulerin relaatiota määrittämään tai vahvistamaan tuntemattomia V: n, F: n tai A: n arvoja, kun monitaho on kupera.
| Polyhedron | F | V | THE | F+V | A + 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| Kuutio | 6 | 8 | 12 | 6 + 8 = 14 | 12 + 2 = 14 |
| kolmion muotoinen pyramidi | 4 | 4 | 6 | 4 + 4 = 8 | 6 + 2 = 8 |
| Viisikulmainen pohjaprisma | 7 | 10 | 15 | 7 + 10 = 17 | 15 + 2 = 17 |
| säännöllinen oktaedri | 8 | 6 | 12 | 8 + 6 = 14 | 12 + 2 = 14 |
Esimerkki
Kuperalla monitahoisella on 20 pintaa ja 12 kärkeä. Määritä reunojen lukumäärä.
Käyttämällä Eulerin relaatiota ja eristämällä A:
Korvaa F: n ja V: n arvot:
Kasvot, kärjet ja reunat
Polyhedrat ovat kiinteitä, kolmiulotteisia geometrisia muotoja ilman pyöristettyjä sivuja. Nämä sivut ovat monitahoisen pinnat (F).
Kasvojen kohtaamista kutsutaan reunoiksi (A).
Vertices ovat pisteitä, joissa kolme tai useampi reuna kohtaa.
kupera polyhedra
Kuperat polyhedrat ovat geometrisia kiinteitä aineita, joissa ei ole koveruutta, joten niiden kummallakaan pinnalla ei ole yli 180º sisäkulmia.
Tässä polyhedronissa sinisellä merkitty sisäkulma on yli 180º, joten se ei ole kupera monitaho.
Katso lisää aiheesta monitahoinen.
Harjoituksia Eulerin relaatiosta
Harjoitus 1
Etsi pintojen lukumäärä monitahoisessa, jossa on 9 reunaa ja 6 kärkeä.
Oikea vastaus: 5 naamaa.
Eulerin relaatiota käyttämällä:
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 9 + 2 - 6
F = 11-6
F = 5
Harjoitus 2
Dodekaedri on platoninen kiinteä aine, jossa on 12 pintaa. Kun tiedät, että sillä on 20 kärkeä, määritä sen reunojen määrä.
Oikea vastaus:
Eulerin relaatiota käyttämällä:
F + V = A + 2
F + V - 2 = A
12 + 20 - 2 = A
32 - 2 = A
30 = A
Harjoitus 3
Mikä on 4 kärjen ja 6 reunan monitahoisen nimi suhteessa sen pintojen määrään, kun pinnat ovat kolmioita?
Vastaus: Tetrahedron.
Meidän on määritettävä sen kasvojen määrä.
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 6 + 2 - 4
F = 8-4
F = 4
Monitahoista, jossa on 4 kolmion muotoista pintaa, kutsutaan tetraedriksi.
Kuka oli Leonhard Paul Euler?
Leonhard Paul Euler (1707-1783) oli yksi historian taitavimmista matemaatikoista ja fyysikoista, ja hän osallistui tähtitieteen tutkimuksiin. Saksankielinen sveitsiläinen, hän oli fysiikan professori Pietarin tiedeakatemiassa ja myöhemmin Berliinin akatemiassa. Hän on julkaissut useita matematiikkatutkimuksia.
Opi myös:
- Geometriset kiintoaineet
- Tilageometria
- Geometriset kuviot
- Prisma - Geometrinen kuvio
- Pyramidi
- Kivilaatta
- Kuutio
