Ratkaistiin lineaaristen systeemien harjoituksia

Harjoittele tietosi lineaarisista järjestelmistä, tärkeästä matematiikan aiheesta, joka sisältää samanaikaisten yhtälöiden tutkimisen. Monissa käytännön sovelluksissa niitä käytetään ratkaisemaan erilaisia ​​muuttujia koskevia ongelmia.

Kaikki kysymykset ratkaistaan ​​askel askeleelta, jossa käytämme erilaisia ​​menetelmiä, kuten: korvaaminen, lisääminen, eliminointi, skaalaus ja Cramerin sääntö.

Kysymys 1 (korvausmenetelmä)

Määritä järjestyspari, joka ratkaisee seuraavan lineaarisen yhtälöjärjestelmän.

Katso vastaus

Vastaus:

X: n eristäminen ensimmäisessä yhtälössä:

Korvaa x: n toiseen yhtälöön:

Korvataan y: n arvo ensimmäiseen yhtälöön.

Joten tilattu pari, joka ratkaisee järjestelmän, on:

Kysymys 2 (skaalausmenetelmä)

Seuraavan lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisu on:

Katso vastaus

Vastaus: x = 5, y = 1, z = 2

Järjestelmä on jo echelon-muodossa. Kolmannessa yhtälössä on kaksi nollakerrointa (y = 0 ja x = 0), toisessa yhtälössä on nollakerroin (x = 0) ja kolmannessa yhtälössä ei ole nollakertoimia.

Echelon-järjestelmässä ratkaisemme "alhaalta ylös", eli aloitamme kolmannesta yhtälöstä.

Siirryttäessä ylimpään yhtälöön korvaamme z = 2.

Lopuksi korvataan ensimmäisessä yhtälössä z = 2 ja y = 1, jotta saadaan x.

Ratkaisu

x = 5, y = 1, z = 2

Kysymys 3 (Cramerin sääntö tai menetelmä)

Ratkaise seuraava lineaarinen yhtälöjärjestelmä:

Katso vastaus

Vastaus: x = 4, y = 0.

Cramerin sääntöä käyttäen.

Vaihe 1: määritä determinantit D, Dx ja Dy.

Kertoimien matriisi on:

Sen määräävä tekijä:
D = 1. 1 - 2. (-1)
D = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3

Dx: n laskemista varten korvaamme x: n termien sarakkeen itsenäisten termien sarakkeella.

Dx = 4. 1 - 8. (-1)
Dx = 4 + 8 = 12

Dy: n laskemista varten korvaamme y: n ehdot itsenäisillä termeillä.

Dy = 1. 8 - 2. 4
Dy = 8-8
Dy = 0

vaihe 2: määritä x ja y.

Määrittääksemme x: n, teemme:

Määrittääksemme y: n teemme:

kysymys 4

T-paidan ja lippalakin myyjä urheilutapahtumassa myi 3 t-paitaa ja 2 lippalakkia ja keräsi yhteensä 220,00 R$. Seuraavana päivänä hän myi 2 paitaa ja 3 lippalakkia keräten 190,00 R$. Mikä olisi t-paidan hinta ja lippalakin hinta?

a) T-paita: 60,00 BRL | Korkki: 40,00 BRL

b) T-paita: 40,00 BRL | Korkki: 60,00 BRL

c) T-paita: 56,00 BRL | Korkki: 26,00 BRL

d) T-paita: 50,00 BRL | Korkki: 70,00 BRL

e) T-paita: 80,00 BRL | Korkki: 30,00 BRL

vahvista vastaus

Vastaus selitetty

Merkitään T-paitojen hinta c ja hattujen hinta b.

Ensimmäisenä päivänä meillä on:

3c + 2b = 220

Toisena päivänä meillä on:

2c + 3b = 190

Muodostamme kaksi yhtälöä, joissa kummassakin on kaksi tuntematonta, c ja b. Meillä on siis 2x2 lineaarisen yhtälön järjestelmä.

Resoluutio

Cramerin sääntöä käyttämällä:

1. vaihe: kertoimien matriisin determinantti.

2. vaihe: determinantti Dc.

Korvataan c: n sarake itsenäisten termien matriisilla.

3. vaihe: determinantti Db.

4. vaihe: määritä c: n ja b: n arvo.

Vastaus:

T-paidan hinta on 56,00 R$ ja lippiksen 26,00 R$.

kysymys 5

Elokuvateatteri maksaa 10,00 R$/lippu aikuisilta ja 6,00 R$/lippu lapsille. Yhdessä päivässä myytiin 80 lippua ja kokonaishinta oli 700,00 R$. Kuinka monta lippua kustakin tyypistä myytiin?

a) Aikuiset: 75 | Lapset: 25

b) Aikuiset: 40 | Lapset: 40

c) Aikuiset: 65 | Lapset: 25

d) Aikuiset: 30 | Lapset: 50

e) Aikuiset: 25 | Lapset: 75

vahvista vastaus

Vastaus selitetty

Nimetään se nimellä The lipun hinta aikuisille ja w lapsille.

Lippujen kokonaismäärään nähden:

a + c = 80

Mitä tulee saatuun arvoon, meillä on:

10a + 6c = 700

Muodostamme lineaarisen yhtälöjärjestelmän, jossa on kaksi yhtälöä ja kaksi tuntematonta, eli 2x2-järjestelmä.

Resoluutio

Käytämme korvausmenetelmää.

A: n eristäminen ensimmäisessä yhtälössä:

a = 80 - c

Korvataan a toiseen yhtälöön:

10. (80 - c) + 6c = 700

800 -10c + 6c = 700

800 - 700 = 10c - 6c

100 = 4c

c = 100/4

c = 25

Korvaa c toisessa yhtälössä:

6a + 10c = 700

6a+10. 25 = 700

6v + 250 = 700

6a = 700 - 250

6a = 450

a = 450/6

a = 75

kysymys 6

Kauppa myy t-paitoja, shortseja ja kenkiä. Ensimmäisenä päivänä myytiin 2 T-paitaa, 3 shortsia ja 4 paria kenkiä yhteensä 350,00 R$. Toisena päivänä myytiin 3 T-paitaa, 2 shortsia ja 1 pari kenkiä yhteensä 200,00 R$. Kolmantena päivänä myytiin 1 T-paita, 4 shortsit ja 2 paria kenkiä yhteensä 320,00 R$. Paljonko T-paita, shortsit ja kenkäpari maksaisivat?

a) T-paita: 56,00 BRL | Bermuda: 24,00 R$ | Kengät: 74,00 BRL

b) T-paita: 40,00 BRL | Bermuda: 50,00 R$ | Kengät: 70,00 BRL

c) T-paita: 16,00 BRL | Bermuda: 58,00 R$ | Kengät: 36,00 BRL

d) T-paita: 80,00 BRL | Bermuda: 50,00 R$ | Kengät: 40,00 BRL

e) T-paita: 12,00 BRL | Bermuda: 26,00 R$ | Kengät: 56,00 BRL

vahvista vastaus

Vastaus selitetty

• c on paitojen hinta;
• b on shortsien hinta;
• s on kenkien hinta.

Ensimmäiselle päivälle:

2c + 3b + 4s = 350

Toiselle päivälle:

3c + 2b + s = 200

Kolmantena päivänä:

c + 4b + 2s = 320

Meillä on kolme yhtälöä ja kolme tuntematonta, jotka muodostavat 3x3 lineaarisen yhtälöjärjestelmän.

Cramerin sääntöä käyttäen.

Kertoimien matriisi on

Sen determinantti on D = 25.

Vastausten sarakematriisi on:

Dc: n laskemiseksi korvaamme vastausten sarakematriisin kertoimien matriisin ensimmäisellä sarakkeella.

dc = 400

Db: n laskemista varten:

Db = 1450

Ds: n laskemista varten:

Ds = 900

Määrittääksemme c: n, b: n ja s: n jaamme determinantit Dc, Db ja Ds päädeterminantilla D.

kysymys 7

Ravintolassa on kolme ruokavaihtoehtoa: liha, salaatti ja pizza. Ensimmäisenä päivänä myytiin 40 liharuokaa, 30 salaattiruokaa ja 10 pizzaa, yhteensä 700,00 R$. Toisena päivänä myytiin 20 liharuokaa, 40 salaattiruokaa ja 30 pizzaa, yhteensä 600,00 R$. Kolmantena päivänä myytiin 10 liharuokaa, 20 salaattiruokaa ja 40 pizzaa, yhteensä 500,00 R$. Paljonko kukin ruokalaji maksaisi?

a) liha: 200,00 BRL | salaatti: 15,00 R$ | pizza: 10,00 BRL

b) liha: 150,00 R$ | salaatti: 10,00 R$ | pizza: 60,00 BRL

c) liha: 100,00 BRL | salaatti: 15,00 R$ | pizza: 70,00 BRL

d) liha: 200,00 BRL | salaatti: 10,00 R$ | pizza: 15,00 BRL

e) liha: 140,00 BRL | salaatti: 20,00 R$ | pizza: 80,00 BRL

vahvista vastaus

Vastaus selitetty

Käyttää:

• c lihalle;
• s salaatille;
• p pizzalle.

Ensimmäisenä päivänä:

Toisena päivänä:

Kolmantena päivänä:

Jokaisen annoksen hinta saadaan ratkaisemalla järjestelmä:

Resoluutio

Eliminointimenetelmää käyttämällä.

Kerro 20c + 40s + 30p = 6000 kahdella.

Vähennä ensimmäisestä saatu toinen matriisiyhtälö.

Yllä olevassa matriisissa korvaamme tämän yhtälön toisella.

Kerromme yllä olevan kolmannen yhtälön 4:llä.

Vähentämällä kolmannen ensimmäisestä yhtälöstä, saamme:

Korvataan kolmannella saatu yhtälö.

Vähentämällä yhtälöt kaksi ja kolme, meillä on:

Kolmannesta yhtälöstä saadaan p = 80.

Korvaa p toisessa yhtälössä:

50s + 50,80 = 5000

50s + 4000 = 5000

50s = 1000

s = 1000/50 = 20

Korvaa s: n ja p: n arvot ensimmäisessä yhtälössä:

40c + 30,20 + 10,80 = 7000

40c + 600 + 800 = 7000

40c = 7000 - 600 - 800

40c = 5600

c = 5600 / 40 = 140

Ratkaisu

p = 80, s = 20 ja c = 140

kysymys 8

(UEMG) Suunnitelmassa järjestelmä edustaa riviparia

a) sattumaa.

b) erillinen ja samansuuntainen.

c) rinnakkaiset suorat pisteessä ( 1, -4/3 )

d) rinnakkaiset viivat pisteessä ( 5/3, -16/9 )

vahvista vastaus

Vastaus selitetty

Kerrotaan ensimmäinen yhtälö kahdella ja lisätään kaksi yhtälöä:

Korvataan x yhtälössä A:

kysymys 9

(PUC-MINAS) Tietty laboratorio lähetti 108 tilausta apteekeille A, B ja C. Tiedetään, että apteekkiin B lähetettyjen tilausten määrä oli kaksinkertainen kahteen muuhun apteekkiin lähetettyjen tilausten kokonaismäärään verrattuna. Lisäksi apteekkiin C lähetettiin kolme tilausta, jotka yli puolet apteekkiin A lähetetystä summasta.

Näiden tietojen perusteella on OIKEIN väittää, että apteekeille B ja C lähetettyjen tilausten kokonaismäärä oli

a) 36

b) 54

c) 86

d) 94

vahvista vastaus

Vastaus selitetty

Lausunnon mukaan meillä on:

A + B + C = 108.

Lisäksi B: n määrä oli kaksinkertainen A + C: n määrään.

B = 2(A + C)

Kolme tilausta lähetettiin apteekkiin C, yli puolet apteekkiin A lähetetystä määrästä.

C = A/2 + 3

Meillä on yhtälöt ja kolme tuntematonta.

Käyttämällä korvausmenetelmää.

Vaihe 1: korvaa kolmas toisella.

Vaihe 2: Korvaa saatu tulos ja kolmas yhtälö ensimmäisessä.

Vaihe 3: Korvaa A: n arvo määrittääksesi B: n ja C: n arvot.

B = 3A + 6 = 3,22 + 6 = 72

C: lle:

Vaihe 4: lisää B: n ja C: n arvot.

72 + 14 = 86

kysymys 10

(UFRGS 2019) Siten, että lineaarinen yhtälöjärjestelmä mahdollista ja määrätietoista, se on välttämätöntä ja riittävää

a) a ∈ R.

b) a = 2.

c) a = 1.

d) a ≠ 1.

c) a ≠ 2.

vahvista vastaus

Vastaus selitetty

Yksi tapa luokitella järjestelmä mahdolliseksi ja määrättäväksi on Cramerin menetelmä.

Tämän edellytyksenä on, että determinantit ovat erilaisia ​​kuin nolla.

Päämatriisin determinantin D saaminen nollaksi:

Lisätietoja lineaarisista järjestelmistä:

• Lineaariset järjestelmät: mitä ne ovat, tyypit ja kuinka ratkaista
• Yhtälöjärjestelmät
• Lineaaristen järjestelmien skaalaus
• Cramerin sääntö

Lisää harjoituksia:

• 1. asteen yhtälöjärjestelmät

Kuinka lainata?

ASTH, Rafael. Harjoituksia ratkaistuista lineaarisista systeemeistä.Kaikki väliä, [n.d.]. Saatavilla: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. Pääsy osoitteessa:

Katso myös

• Lineaariset järjestelmät
• Lineaaristen järjestelmien skaalaus
• Yhtälöjärjestelmät
• 11 harjoitusta matriisikertolaskusta
• Toisen asteen yhtälö
• Eriarvoisuusharjoitukset
• 27 matematiikan perustehtävät
• Cramerin sääntö