Analyyttinen geometria tutkii geometrisia elementtejä koordinaattijärjestelmässä tasossa tai avaruudessa. Nämä geometriset objektit määräytyvät niiden sijainnin ja sijainnin perusteella tämän suuntausjärjestelmän pisteisiin ja akseleihin nähden.
Muinaisista kansoista, kuten egyptiläisistä ja roomalaisista, ajatus koordinaateista on jo esiintynyt historiassa. Mutta tämä matematiikan ala systematisoitiin 1600-luvulla René Descartesin ja Pierre de Fermat'n teosten avulla.
Suorakulmainen ortogonaalinen järjestelmä
Ortogonaalinen suorakulmainen järjestelmä on vertailupohja koordinaattien paikantamiseen. Se muodostuu tasossa kahdesta toisiinsa nähden kohtisuorasta akselista.
- Tämän järjestelmän O(0,0)-origo on näiden akselien leikkauspiste.
- X-akseli on abskissa.
- Y-akseli on ordinaatta.
- Neljä kvadranttia ovat vastapäivään.
järjestetty pari
Minkä tahansa tason pisteen koordinaatti on P(x, y).
x on pisteen P abskissa ja muodostaa etäisyyden sen x-akselilla olevasta ortogonaalisesta projektiosta origoon.
y on pisteen P ordinaatta ja etäisyys sen ortogonaalisesta projektiosta y-akselilla origoon.
kahden pisteen välinen etäisyys
Kahden pisteen välinen etäisyys suorakulmaisella tasolla on janan pituus, joka yhdistää nämä kaksi pistettä.
Kahden pisteen välinen etäisyyskaava ja
minkä tahansa.
Keskipisteen koordinaatit
Keskipiste on piste, joka jakaa janan kahteen yhtä suureen osaan.
Oleminen janan keskipiste
, sen koordinaatit ovat abskissan ja ordinaatin aritmeettisia keskiarvoja.
ja
Kolmen pisteen kohdistusehto
Pisteet huomioiden: .
Nämä kolme pistettä kohdistetaan, jos seuraavan matriisin determinantti on yhtä suuri kuin nolla.
Esimerkki
Viivan kulmakerroin
rinnettä suoran viivan tangentti on sen kaltevuuden tangentti
x-akselin suhteen.
Kaltevuuden saamiseksi kahdesta pisteestä:
Jos m > 0, viiva on nouseva, muuten, jos m < 0, viiva on laskeva.
suoran yleinen yhtälö
Missä ,B ja ç ovat pysyviä reaalilukuja ja The ja B ne eivät ole samanaikaisesti mitättömiä.
Esimerkki
Suorayhtälö, joka tietää pisteen ja kaltevuuden
annettu piste ja rinnettä
.
Suoran yhtälö on:
Esimerkki
Suoran yhtälön pelkistetty muoto
Missä:
m on kaltevuus;
n on lineaarinen kerroin.
ei on järjestetty kohtaan, jossa suora leikkaa y-akselin.
Esimerkki
Katso Viivayhtälö.
Suhteellinen sijainti kahden yhdensuuntaisen suoran välillä tasossa
Kaksi erillistä viivaa ovat yhdensuuntaisia, kun niiden kaltevuus on yhtä suuri.
jos suora r on kaltevuus , ja suora s on kaltevuus
, nämä ovat rinnakkaisia, kun:
Tätä varten taipumuksesi on oltava samat.
Tangentit ovat yhtä suuret, kun kulmat ovat yhtä suuret.
Suhteellinen sijainti kahden kilpailevan suoran välillä tasossa
Kaksi viivaa ovat samanaikaisia, kun niiden kaltevuus on erilainen.
Rinnet puolestaan eroavat toisistaan, kun niiden kaltevuuskulmat x-akseliin nähden ovat erilaiset.
kohtisuorat viivat
Kaksi jäännöstä ovat kohtisuorassa, kun niiden kaltevuuden tulo on -1.
kaksi suoraa r ja s, erottuva, rinteillä ja
, ovat kohtisuorassa, jos ja vain jos:
tai
Toinen tapa tietää, ovatko kaksi suoraa kohtisuorassa, on niiden yhtälöt yleisessä muodossa.
Rivien r ja s yhtälöt ovat:
Kaksi siihen nähden kohtisuoraa viivaa, kun:
Katso Pystysuorat linjat.
Ympärysmitta
Ympärysmitta on tason paikka, jossa kaikki pisteet P(x, y) ovat samalla etäisyydellä r sen keskustasta C(a, b), missä r on säteen mitta.
Ympärysmittayhtälö pelkistetyssä muodossa
Missä:
r on säde, kaaresi minkä tahansa pisteen ja keskustan välinen etäisyys. Ç.
The ja B ovat keskuksen koordinaatit Ç.
ympyrän yleinen yhtälö
Se saadaan kehittämällä ympärysmitan pelkistetyn yhtälön neliötermit.
On hyvin yleistä, että harjoituksissa esitetään ympärysmittayhtälön yleinen muoto, joka tunnetaan myös normaalimuodona.
kartiomainen
Sana kartio tulee kartiosta ja viittaa sen leikkaamisella saatuihin käyriin. Ellipsi, hyperbola ja paraabeli ovat kartiomaisia käyriä.
Ellipsi
Ellipsi on suljettu käyrä, joka saadaan leikkaamalla suora pyöreä kartio akseliin nähden vinolla tasolla, joka ei kulje kärjen läpi eikä ole yhdensuuntainen sen generatriisien kanssa.
Tasossa joukko pisteitä, joiden etäisyyksien summa kahteen sisäiseen kiinteään pisteeseen on vakio.
Ellipsin elementit:
- F1 ja F2 ovat ellipsin polttopisteitä;
- 2c on ellipsin polttoväli. Se on F1:n ja F2:n välinen etäisyys;
- Pointti O se on ellipsin keskipiste. Se on F1:n ja F2:n keskipiste;
- A1 ja A2 ovat ellipsin kärjet;
- segmentti
pääakseli ja yhtä suuri kuin 2a.
- segmentti
sivuakseli on yhtä suuri kuin 2b.
- Epäkeskisyys
missä 0 < ja < 1.
Pelkistetty ellipsiyhtälö
Tarkastellaan ellipsin sisältämää pistettä P(x, y), jossa x on abskissa ja y on tämän pisteen ordinaatti.
Ellipsin keskipiste koordinaattijärjestelmän origossa ja pääakseli (AA) x-akselilla.
Ellipsin keskipiste koordinaattijärjestelmän origossa ja pääakseli (AA) y-akselilla.
Ellipsin pelkistetty yhtälö, jonka akselit ovat yhdensuuntaiset koordinaattiakseleiden kanssa
asiaa harkiten karteesisen järjestelmän alkuperänä ja pisteenä
ellipsin keskipisteenä.
AA pääakseli, yhdensuuntainen x-akselin kanssa.
AA pääakseli, yhdensuuntainen y-akselin kanssa.
Hyperbolia
Hyperbola on joukko pisteitä tasossa, jossa kahden kiinteän pisteen F1 ja F2 välinen ero johtaa vakioon, positiiviseen arvoon.
Hyperbolin elementit:
- F1 ja F2 ovat hyperbelin polttopisteitä.
- 2c =
on polttoväli.
- Hyperbolin keskipiste on piste Oi F1F2-segmentin keskiarvo.
- A1 ja A2 ovat pisteitä.
- 2a = A1A2 on reaali- tai poikkiakseli.
- 2b = B1B2 on imaginaari- tai konjugaattiakseli.
-
on epäkeskisyys.
Kolmion B1OA2 läpi
Hyperbola pelkistetty yhtälö
Todellinen akseli x-akselin ympärillä ja keskipiste origossa.
Todellinen akseli y-akselilla ja keskipiste origossa.
Hyperboliyhtälö, jossa akselit ovat yhdensuuntaiset koordinaattiakseleiden kanssa
AA todellinen akseli, joka on yhdensuuntainen x-akselin ja keskipisteen kanssa .
Reaaliakseli AA yhdensuuntainen y-akselin ja keskipisteen kanssa .
Vertaus
Paraabeli on paikka, jossa pistejoukot P(x, y) ovat samalla etäisyydellä kiinteästä pisteestä F ja suorasta d.
Vertauksen osia:
- F on vertauksen painopiste;
- d on suora suuntaviiva;
- Symmetria-akseli on kohdistuksen F läpi kulkeva suora viiva, joka on kohtisuorassa ohjausviivaan nähden.
- V on paraabelin kärki.
- p on samanpituinen segmentti fokuksen F ja kärjen V e välillä, kärjen ja direktiivin d välillä.
Paraabelin pelkistetyt yhtälöt
Huippupiste origossa ja symmetria-akseli y-akselilla.
Jos p>0 koveruus ylöspäin.
Jos p<0 alaspäin koveruus.
Huippupiste origossa ja symmetria-akseli x-akselilla.
Jos p>0 koveruus oikealle.
Jos p<0 koveruus vasemmalle.
Symmetria-akselilla yhdensuuntainen y-akselin ja kärjen kanssa .
Symmetria-akselilla yhdensuuntainen x-akselin ja kärjen kanssa .
harjoitella kanssa Analyyttisen geometrian harjoitukset.
Lisätietoja osoitteessa:
Karteesinen suunnitelma
kahden pisteen välinen etäisyys
kartiomainen
Kulmakertoimen laskenta
